$k$ を定数とする。直線 $(2k+3)x+(k-4)y-4k+5=0$ が $k$ の値に関わらず通る定点の座標を求め、さらに、この直線が点 $(-1, 0)$ を通るように、$k$ の値を定める。

1. 問題の内容

$k$ を定数とする。直線 $(2k+3)x+(k-4)y-4k+5=0$ が $k$ の値に関わらず通る定点の座標を求め、さらに、この直線が点 $(-1, 0)$ を通るように、$k$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の方程式を $k$ について整理します。

$(2k+3)x + (k-4)y - 4k + 5 = 0$

$2kx + 3x + ky - 4y - 4k + 5 = 0$

$k(2x + y - 4) + (3x - 4y + 5) = 0$

$k$ の値に関わらずこの式が成り立つためには、

$2x + y - 4 = 0$

$3x - 4y + 5 = 0$

が同時に成り立つ必要があります。

上記の連立方程式を解きます。

1つ目の式を4倍すると

$8x + 4y - 16 = 0$

2つ目の式と足し合わせると

$11x - 11 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ を $2x + y - 4 = 0$ に代入すると

$2(1) + y - 4 = 0$

$y = 2$

したがって、定点の座標は $(1, 2)$ です。

次に、この直線が点 $(-1, 0)$ を通るように $k$ の値を定めます。

与えられた直線の方程式に $(-1, 0)$ を代入すると

$(2k+3)(-1) + (k-4)(0) - 4k + 5 = 0$

$-2k - 3 - 4k + 5 = 0$

$-6k + 2 = 0$

$6k = 2$

$k = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

定点の座標: $(1, 2)$

$k$ の値: $\frac{1}{3}$