質量 $m = 0.20$ kg のゴムボールが、速さ $v_i = 10$ m/s で床に衝突します。床からボールに加わる力のグラフが与えられています。衝突後のボールの速さを求めなさい。

1. 問題の内容

質量 $m = 0.20$ kg のゴムボールが、速さ $v_i = 10$ m/s で床に衝突します。床からボールに加わる力のグラフが与えられています。衝突後のボールの速さを求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、力積を計算します。力積は力と時間の積であり、グラフの面積に対応します。グラフは三角形なので、面積は (底辺 × 高さ) / 2 で計算できます。

底辺は $10$ ms = $0.01$ s、高さは $400$ N です。したがって、力積 $J$ は、

$J = \frac{1}{2} \times 0.01 \text{ s} \times 400 \text{ N} = 2 \text{ Ns}$

次に、力積と運動量の変化の関係を使います。力積は運動量の変化に等しく、$J = \Delta p = m v_f - m v_i$ です。ここで、$v_f$ は衝突後のボールの速さ、$v_i$ は衝突前のボールの速さです。ボールが下向きを正とすると、$v_i = 10 \text{ m/s}$ です。

$2 = 0.20 v_f - 0.20 \times 10$

$2 = 0.20 v_f - 2$

$4 = 0.20 v_f$

$v_f = \frac{4}{0.20} = 20 \text{ m/s}$

衝突後のボールの速さは $20$ m/s です。ボールは下向きに進むので、速度は正です。しかし、ボールは跳ね返るので、上向きの速度になります。したがって、速度は負になります。なので、$v_f = -20 \text{ m/s}$

3. 最終的な答え

衝突後のボールの速さは 20 m/s です。