与えられた7つの同次連立一次方程式が非自明解を持つかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

与えられた7つの同次連立一次方程式が非自明解を持つかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

同次連立一次方程式が非自明解を持つための条件は、係数行列の階数が未知数の数よりも小さいことです。

各連立方程式について、係数行列を作り、その階数を計算します。

(1)

係数行列は

$\begin{pmatrix}

2 & 3 \\

0 & 4

\end{pmatrix}$

階数は2で、未知数の数も2なので、自明解のみを持ちます。

(2)

係数行列は

$\begin{pmatrix}

2 & -3 \\

4 & -6

\end{pmatrix}$

これは$\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$と同値なので、階数は1です。未知数は$x_1$と$x_2$の2つであるため、非自明解を持ちます。

(3)

係数行列は

$\begin{pmatrix}

2 & -4 & 4 \\

3 & 6 & -7

\end{pmatrix}$

階数は2です。未知数は$x_1, x_2, x_3$の3つなので、非自明解を持ちます。

(4)

係数行列は

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

0 & 4 & 5 \\

0 & 0 & 6

\end{pmatrix}$

階数は3です。未知数は$x_1, x_2, x_3$の3つなので、自明解のみを持ちます。

(5)

係数行列は

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 0 \\

0 & -2 & 4 \\

-1 & 1 & 0

\end{pmatrix}$

これは$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$と同値なので、階数は2です。未知数は$x_1, x_2, x_3$の3つなので、非自明解を持ちます。

(6)

係数行列は

$\begin{pmatrix}

1 & 3 & 0 \\

1 & 2 & 1 \\

-1 & -1 & -4

\end{pmatrix}$

階数は3です。未知数は$x_1, x_2, x_3$の3つなので、自明解のみを持ちます。

(7)

係数行列は

$\begin{pmatrix}

0 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 0 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 0 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 0

\end{pmatrix}$

階数は4です。未知数は$x_1, x_2, x_3, x_4$の4つなので、自明解のみを持ちます。

3. 最終的な答え

非自明解を持つのは、(2), (3), (5)です。

(1), (4), (6), (7) は自明解のみを持ちます。