$\log_2 18 - \log_4 12$ を計算します。

## (3) の問題

1. 問題の内容

$\log_2 18 - \log_4 12$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、底を2に統一します。$\log_4 12$ を底が2の対数に変換します。底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、

$\log_4 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 4} = \frac{\log_2 12}{2}$

したがって、

$\log_2 18 - \log_4 12 = \log_2 18 - \frac{1}{2}\log_2 12 = \log_2 18 - \log_2 \sqrt{12}$

対数の性質 $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ を用いると、

$\log_2 18 - \log_2 \sqrt{12} = \log_2 \frac{18}{\sqrt{12}} = \log_2 \frac{18}{2\sqrt{3}} = \log_2 \frac{9}{\sqrt{3}} = \log_2 \frac{9\sqrt{3}}{3} = \log_2 3\sqrt{3} = \log_2 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \log_2 3$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \log_2 3$

## (4) の問題

1. 問題の内容

$\log_5 2 - \log_{25} \frac{1}{20}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、底を5に統一します。$\log_{25} \frac{1}{20}$ を底が5の対数に変換します。底の変換公式を用いると、

$\log_{25} \frac{1}{20} = \frac{\log_5 \frac{1}{20}}{\log_5 25} = \frac{\log_5 \frac{1}{20}}{2}$

したがって、

$\log_5 2 - \log_{25} \frac{1}{20} = \log_5 2 - \frac{1}{2}\log_5 \frac{1}{20} = \log_5 2 - \log_5 \sqrt{\frac{1}{20}} = \log_5 2 - \log_5 \frac{1}{\sqrt{20}}$

対数の性質 $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ を用いると、

$\log_5 2 - \log_5 \frac{1}{\sqrt{20}} = \log_5 \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{20}}} = \log_5 2\sqrt{20} = \log_5 2\sqrt{4 \times 5} = \log_5 2 \times 2 \sqrt{5} = \log_5 4\sqrt{5} = \log_5 4 + \log_5 \sqrt{5} = \log_5 4 + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\log_5 4 + \frac{1}{2}$