$0 < x < 1$ かつ $x + \frac{1}{x} = 7$ を満たす実数 $x$ に対して、次の式の値を求める問題です。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

$0 < x < 1$ かつ $x + \frac{1}{x} = 7$ を満たす実数 $x$ に対して、次の式の値を求める問題です。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x} = 7$ の両辺を2乗すると、

$(x + \frac{1}{x})^2 = 7^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 49$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 49$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 49 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 47$

(2) $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ の値を求めるために、$(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2$ を計算します。

$(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + (\frac{1}{\sqrt{x}})^2$

$= x - 2 + \frac{1}{x}$

$= x + \frac{1}{x} - 2$

$x + \frac{1}{x} = 7$ であるから、

$(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 7 - 2 = 5$

ここで、$0 < x < 1$ より、$\sqrt{x} > x$ かつ $\frac{1}{\sqrt{x}} > 1$ かつ $\frac{1}{x} > 1$ なので、$\sqrt{x} < \frac{1}{\sqrt{x}}$ が成り立ちます。

したがって、$\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} < 0$ であるので、

$\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 47

(2) $-\sqrt{5}$