与えられた4x4行列の行列式を計算せよ。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & 0 \\ 0 & 0 & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算せよ。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & 0 & 0 & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\

0 & a_{32} & a_{33} & 0 \\

0 & 0 & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、余因子展開を使用します。まず、1行目に沿って展開します。

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & 0 & 0 & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\

0 & a_{32} & a_{33} & 0 \\

0 & 0 & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}

= a_{11} \begin{vmatrix}

a_{22} & 0 & 0 \\

a_{32} & a_{33} & 0 \\

0 & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}

- 0 \begin{vmatrix}

a_{21} & 0 & 0 \\

0 & a_{33} & 0 \\

0 & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}

+ 0 \begin{vmatrix}

a_{21} & a_{22} & 0 \\

0 & a_{32} & 0 \\

0 & 0 & a_{44}

\end{vmatrix}

- a_{14} \begin{vmatrix}

a_{21} & a_{22} & 0 \\

0 & a_{32} & a_{33} \\

0 & 0 & a_{43}

\end{vmatrix}

$$

最初の3x3行列式は、下三角行列なので、対角成分の積になります。

$\begin{vmatrix}

a_{22} & 0 & 0 \\

a_{32} & a_{33} & 0 \\

0 & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix} = a_{22}a_{33}a_{44}$

4番目の3x3行列式も下三角行列なので、対角成分の積になります。

$\begin{vmatrix}

a_{21} & a_{22} & 0 \\

0 & a_{32} & a_{33} \\

0 & 0 & a_{43}

\end{vmatrix} = a_{21}a_{32}a_{43}$

したがって、元の行列式は次のようになります。

$a_{11}(a_{22}a_{33}a_{44}) - a_{14}(a_{21}a_{32}a_{43})$

$a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} - a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}$

3. 最終的な答え

$a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} - a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}$