与えられた式 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ を計算し、簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた式

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}$

を計算し、簡略化する。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役複素数（ここでは $\sqrt{2}+(\sqrt{5}+\sqrt{7})$ に対して$\sqrt{2}-(\sqrt{5}+\sqrt{7})$）を分母と分子に掛ける。

まず、分母の共役な式を計算する。

$(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}) = (\sqrt{2} + (\sqrt{5} + \sqrt{7}))(\sqrt{2} - (\sqrt{5} + \sqrt{7})) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{7})^2 = 2 - (5 + 2\sqrt{35} + 7) = 2 - 12 - 2\sqrt{35} = -10 - 2\sqrt{35}$

次に、分子の計算を行う。

$(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}) = (\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = 2 - 2\sqrt{10} + 5 - 7 = -2\sqrt{10}$

したがって、与えられた式は、

$\frac{-2\sqrt{10}}{-10 - 2\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{10}}{5 + \sqrt{35}}$

となる。

この分母を有理化するために、さらに分母と分子に $5-\sqrt{35}$ を掛ける。

$\frac{\sqrt{10}(5 - \sqrt{35})}{(5 + \sqrt{35})(5 - \sqrt{35})} = \frac{5\sqrt{10} - \sqrt{350}}{25 - 35} = \frac{5\sqrt{10} - \sqrt{25 \times 14}}{-10} = \frac{5\sqrt{10} - 5\sqrt{14}}{-10} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{14} - \sqrt{10}}{2}$