0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作る。 (1) 作れる整数は全部で何通りか。 (2) 作れる偶数は何通りか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作る。

(1) 作れる整数は全部で何通りか。

(2) 作れる偶数は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 整数全体の個数

4桁の整数を作るので、千の位、百の位、十の位、一の位を順番に決めていく。

千の位には0以外の5個の数字が使える。

千の位を決めた後、百の位には残りの5個の数字が使える。

百の位を決めた後、十の位には残りの4個の数字が使える。

十の位を決めた後、一の位には残りの3個の数字が使える。

よって、作れる整数の総数は

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 通り。

(2) 偶数の個数

一の位が0, 2, 4 のいずれかの場合で場合分けする。

(i) 一の位が0の場合

一の位が0の場合、千の位には残りの5個の数字が使える。

百の位には残りの4個の数字が使える。

十の位には残りの3個の数字が使える。

よって、この場合の偶数の個数は $5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

(ii) 一の位が2, 4の場合

一の位が2, 4 のいずれかの場合、一の位の決め方は2通り。

千の位には0が使えないので、千の位の数字の選び方は、残りの数字から0を除いた4通り。

百の位には残りの4個の数字が使える。

十の位には残りの3個の数字が使える。

よって、この場合の偶数の個数は $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$ 通り。

したがって、偶数の個数は $60 + 96 = 156$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 300通り

(2) 156通り