7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。 (1) 奇数は何個できるか。 (2) 偶数は何個できるか。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。

(1) 奇数は何個できるか。

(2) 偶数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 奇数の場合

3桁の整数が奇数であるためには、一の位が奇数である必要がある。

使用できる奇数は1, 3, 5 の3つ。

i) 一の位が奇数の場合 (1, 3, 5のいずれか)

一の位の選び方は3通り。

百の位は0以外の数字から選ぶ必要がある。

百の位に0が入らないように、一の位に使った数字と0を除いた5通り。

十の位は、百の位と一の位で使った数字と0を除いた5通り。

よって、奇数の個数は $5 \times 5 \times 3 = 75$ 個。

(2) 偶数の場合

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が偶数である必要がある。

使用できる偶数は0, 2, 4, 6 の4つ。

i) 一の位が0の場合

一の位が0なので、百の位は残りの6個の数字から選べる。

十の位は、百の位と一の位で使った数字を除いた5個の数字から選べる。

よって、 $6 \times 5 = 30$個。

ii) 一の位が2, 4, 6 の場合

一の位の選び方は3通り。

百の位は0以外の数字から選ぶ必要がある。

百の位に0が入らないように、一の位に使った数字と0を除いた5通り。

十の位は、百の位と一の位で使った数字と0を除いた5通り。

よって、$5 \times 5 \times 3 = 75$個。

したがって、偶数の個数は $30 + 75 = 105$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 奇数の個数: 75個

(2) 偶数の個数: 105個