与えられた式を計算して、その値を求めます。与えられた式は次の通りです。 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、その値を求めます。与えられた式は次の通りです。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有利化します。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ の分母と分子に $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \frac{5 - 2\sqrt{10} + 2}{3} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ の分母と分子に $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \frac{5 + 2\sqrt{10} + 2}{3} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$

次に、2つの分数を足し合わせます。

$\frac{7 - 2\sqrt{10}}{3} + \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3} = \frac{7 - 2\sqrt{10} + 7 + 2\sqrt{10}}{3} = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}$