68人の人にA, B, Cの3都市への旅行経験を調査したところ、全員が少なくとも1つの都市に行ったことがあった。 BとCの両方に行った人は19人、CとAの両方に行った人は21人、AとBの両方に行った人は25人であった。 BとCの少なくとも一方に行った人は59人、CとAの少なくとも一方に行った人は56人、AとBの少なくとも一方に行った人は60人であった。 (1) A, B, Cの各都市に行ったことのある人の数を求める。 (2) A, B, Cの全ての都市に行ったことのある人の数を求める。

1. 問題の内容

68人の人にA, B, Cの3都市への旅行経験を調査したところ、全員が少なくとも1つの都市に行ったことがあった。

BとCの両方に行った人は19人、CとAの両方に行った人は21人、AとBの両方に行った人は25人であった。

BとCの少なくとも一方に行った人は59人、CとAの少なくとも一方に行った人は56人、AとBの少なくとも一方に行った人は60人であった。

(1) A, B, Cの各都市に行ったことのある人の数を求める。

(2) A, B, Cの全ての都市に行ったことのある人の数を求める。

2. 解き方の手順

まず、各都市へ行ったことのある人数をそれぞれ$n(A), n(B), n(C)$とする。

また、2つの都市へ行ったことのある人数を$n(A \cap B), n(B \cap C), n(C \cap A)$とする。

全ての都市へ行ったことのある人数を$n(A \cap B \cap C)$とする。

少なくとも一方の都市に行った人数は68人なので、$n(A \cup B \cup C) = 68$である。

包除原理より、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

与えられた情報から、

$n(B \cap C) = 19$

$n(C \cap A) = 21$

$n(A \cap B) = 25$

$n(B \cup C) = 59$

$n(C \cup A) = 56$

$n(A \cup B) = 60$

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$ より、 $59 = n(B) + n(C) - 19$。よって $n(B) + n(C) = 78$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$ より、 $56 = n(C) + n(A) - 21$。よって $n(C) + n(A) = 77$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ より、 $60 = n(A) + n(B) - 25$。よって $n(A) + n(B) = 85$

$n(A) + n(B) = 85$

$n(B) + n(C) = 78$

$n(C) + n(A) = 77$

3つの式を足すと、 $2n(A) + 2n(B) + 2n(C) = 85 + 78 + 77 = 240$

よって $n(A) + n(B) + n(C) = 120$

$n(A) = 120 - (n(B) + n(C)) = 120 - 78 = 42$

$n(B) = 120 - (n(C) + n(A)) = 120 - 77 = 43$

$n(C) = 120 - (n(A) + n(B)) = 120 - 85 = 35$

(1) $n(A) = 42, n(B) = 43, n(C) = 35$

包除原理の式に戻ると、

$68 = 42 + 43 + 35 - 25 - 19 - 21 + n(A \cap B \cap C)$

$68 = 120 - 65 + n(A \cap B \cap C)$

$68 = 55 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 68 - 55 = 13$

(2) $n(A \cap B \cap C) = 13$

3. 最終的な答え

(1) Aに行ったことのある人は42人、Bに行ったことのある人は43人、Cに行ったことのある人は35人。

(2) A, B, C全てに行ったことのある人は13人。