1cmから始めて毎日6倍になるものと、1mmから始めて毎日7倍になるものを比較し、10日後にはどれくらい長さの差があるかを概算する問題です。

1. 問題の内容

1cmから始めて毎日6倍になるものと、1mmから始めて毎日7倍になるものを比較し、10日後にはどれくらい長さの差があるかを概算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、10日後のそれぞれの長さを計算します。

* 1cmから始めて毎日6倍になるものの10日後の長さ：

$1 \times 6^{10} \text{ cm} = 6^{10} \text{ cm}$

* 1mmから始めて毎日7倍になるものの10日後の長さ：

$1 \times 7^{10} \text{ mm} = 7^{10} \text{ mm} = 7^{10} \times 0.1 \text{ cm} = 0.1 \times 7^{10} \text{ cm}$

次に、長さの差を計算します。

差 = $6^{10} - 0.1 \times 7^{10} \text{ cm}$

$6^{10}$ と $7^{10}$ を概算します。問題文にあるように、常用対数を利用します。

$\log(6^{10}) = 10 \log(6) = 10 \log(2 \times 3) = 10 (\log(2) + \log(3)) = 10 (0.3010 + 0.4771) = 10 \times 0.7781 = 7.781$

よって、$6^{10} \approx 10^{7.781} \approx 10^{0.781} \times 10^7$

$10^{0.781}$ は $10^{0.4771}$ (3) より大きく、$10^{0.3010}$(2)の2倍よりも大きいので5〜6程度と見積もることができます。

したがって、$6^{10} \approx 6 \times 10^7$

$\log(7^{10}) = 10 \log(7) = 10 \times 0.8451 = 8.451$

よって、$7^{10} \approx 10^{8.451} \approx 10^{0.451} \times 10^8$

$10^{0.451}$ は $10^{0.4771}$ (3) より小さいので2.8くらいに見積もることができます。

したがって、$7^{10} \approx 2.8 \times 10^8$

差 = $6^{10} - 0.1 \times 7^{10} \text{ cm} \approx 6 \times 10^7 - 0.1 \times 2.8 \times 10^8 \text{ cm} = (6 \times 10^7 - 2.8 \times 10^7 ) \text{ cm} = 3.2 \times 10^7 \text{ cm}$

これをキロメートルに変換します。

$3.2 \times 10^7 \text{ cm} = 3.2 \times 10^7 \times 10^{-5} \text{ km} = 3.2 \times 10^2 \text{ km} = 320 \text{ km}$

3. 最終的な答え

数百キロメートル