与えられた式 $x^2y + x^2 - 16y - 4x$ を因数分解します。

はい、承知いたしました。画像にある問題の中から、以下の問題を解きます。

**(1) x²y + x² - 16y - 4x**

**(3) 4a² + 2ac - 9b² - 3bc**

**(5) x³ - xy + x²y + 2x² - 6y**

**(7) x²y - 3y³ - 2xy² - 3y² + x² - 2xy**

**(9) a²b + 2abc + ab² + b²c + ca²**

**(11) a²b + ca² - bc² - c²a**

**問題(1)**

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2y + x^2 - 16y - 4x$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して共通因数を見つけやすくします。

$x^2y + x^2 - 16y - 4x = x^2(y + 1) - 4(4y + x)$

これはうまくいかないので、別の方法を試します。

$x$ で整理すると：

$x^2y + x^2 - 4x - 16y = (y+1)x^2 -4x -16y$

さらに別の方法を試します。

$x^2(y+1) - 4(x+4y)$.

これも違うようです。

式を並び替えてみます。

$x^2y - 16y + x^2 - 4x = y(x^2 - 16) + x^2 - 4x = y(x-4)(x+4) + x(x-4) = (x-4)[y(x+4) + x] = (x-4)(xy+4y+x)$

3. 最終的な答え

$(x-4)(xy + x + 4y)$

**問題(3)**

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^2 + 2ac - 9b^2 - 3bc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$4a^2 + 2ac - 9b^2 - 3bc = (4a^2 - 9b^2) + (2ac - 3bc) = (2a - 3b)(2a + 3b) + c(2a - 3b) = (2a - 3b)(2a + 3b + c)$

3. 最終的な答え

$(2a - 3b)(2a + 3b + c)$

**問題(5)**

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 - xy + x^2y + 2x^2 - 6y$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$x$ で整理すると：

$x^3 + (y+2)x^2 - xy - 6y$

これは難しそうなので、項を並び替えてみます。

$x^3 + x^2y + 2x^2 - xy - 6y$

$x^3 - xy + x^2y + 2x^2 - 6y = x(x^2 - y) + x^2(y+2) - 6y$.

これはうまくいかないので、別の方法を試します。

$x^3 + x^2y + 2x^2 - xy - 2y - 4y = x^2(x+y+2) - y(x+2)-4y$.

これも違うようです。

$y$ で整理してみます。

$x^3 + 2x^2 + x^2y - xy - 6y = x^3 + 2x^2 + y(x^2 - x - 6) = x^3 + 2x^2 + y(x-3)(x+2) = x^2(x+2) + y(x-3)(x+2) = (x+2)(x^2 + (x-3)y)$.

3. 最終的な答え

$(x+2)(x^2 + xy - 3y)$

**問題(7)**

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2y - 3y^3 - 2xy^2 - 3y^2 + x^2 - 2xy$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

式を整理します。

$x^2y - 2xy^2 - 2xy + x^2 - 3y^3 - 3y^2$

$x$ で整理すると

$(y+1)x^2 - (2y^2 + 2y)x - (3y^3 + 3y^2) = (y+1)x^2 - 2y(y+1)x - 3y^2(y+1) = (y+1)[x^2 - 2yx - 3y^2] = (y+1)[x-3y][x+y]$

3. 最終的な答え

$(y+1)(x-3y)(x+y)$

**問題(9)**

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + 2abc + ab^2 + b^2c + ca^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$a$ について整理します。

$a^2b + ca^2 + 2abc + ab^2 + b^2c = (b+c)a^2 + (2bc+b^2)a + b^2c = (b+c)a^2 + b(2c+b)a + b^2c = (b+c)a^2 + b(b+2c)a + b^2c$.

これは難しいので、別の方法を探します。

全ての項を $a,b,c$ について見てみると、2次の項ばかりなので、対称式や交代式を疑います。

$a(ab+2bc) + ab^2 + b^2c + ca^2$

式を並び替えます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bca + c^2a + cab= ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$.

因数定理を使い、$a = -b$ を代入してみると、

$(-b)^2b + 2(-b)bc + (-b)b^2 + b^2c + c(-b)^2 = b^3 - 2b^2c - b^3 + b^2c + b^2c = 0$

よって、$(a+b)$を因数に持つ。

同様に、$(b+c)$と$(c+a)$も因数に持つ。

$a^2b + 2abc + ab^2 + b^2c + ca^2 = (a+b)(b+c)(c+a)$ と仮定する。

展開すると $(a+b)(bc+c^2+b^2+bc) = (a+b)(b^2+c^2+2bc) = ab^2+ac^2+2abc+b^3+bc^2+2b^2c$

これは元の式と異なるので、定数倍を考慮する。

元の式は3次式であり、因数の積も3次式なので、定数倍は必要ない。

$(a+b)(b+c)(c+a) = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$

**問題(11)**

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + ca^2 - bc^2 - c^2a$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$a$ で整理します。

$a^2b + ca^2 - bc^2 - c^2a = (b+c)a^2 - c^2a - bc^2 = (b+c)a^2 - c^2a - bc^2$.

これはうまくいかないので、別の方法を試します。

$a^2b + ca^2 - bc^2 - ac^2 = a^2(b+c) - c^2(a+b) = (b+c)a^2 - c^2(a+b)$.

$a^2b - ac^2 + ca^2 - bc^2 = a(ab-c^2) + c(a^2-bc)$.

$a^2b + ca^2 - bc^2 - c^2a = a^2(b+c) - c^2(b+a)$.

別の方法を試します。

$a^2b - c^2a + a^2c - bc^2 = a(ab - c^2) + c(a^2 - bc)$

式を並び替えます。

$a^2b - bc^2 + ca^2 - ac^2 = b(a^2 - c^2) + ca(a-c) = b(a-c)(a+c) + ac(a-c) = (a-c)[b(a+c)+ac] = (a-c)(ab + bc + ac)$.

3. 最終的な答え

$(a-c)(ab + bc + ca)$