与えられた4つの式を計算する問題です。 (1) $(4\sqrt{2} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$ (2) $(2\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$ (3) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ (4) $(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を計算する問題です。

(1) $(4\sqrt{2} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$

(2) $(2\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$

(3) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

(4) $(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})$

2. 解き方の手順

(1) 分配法則を用いて展開し、整理します。

(2) $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用して展開し、整理します。

(3) $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用して計算します。

(4) $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を利用して計算します。

(1)

$(4\sqrt{2} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5}) = 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} - 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 8 \cdot 2 - 4\sqrt{10} + 6\sqrt{10} - 3 \cdot 5 = 16 + 2\sqrt{10} - 15 = 1 + 2\sqrt{10}$

(2)

$(2\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 4\sqrt{6} + 2 = 12 - 4\sqrt{6} + 2 = 14 - 4\sqrt{6}$

(3)

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

(4)

$(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $1 + 2\sqrt{10}$

(2) $14 - 4\sqrt{6}$

(3) $1$

(4) $4$