与えられた式 $9x(x-2)-4y(y-3)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $9x(x-2)-4y(y-3)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開する。

$9x(x-2) = 9x^2 - 18x$

$4y(y-3) = 4y^2 - 12y$

したがって、与えられた式は

$9x^2 - 18x - (4y^2 - 12y) = 9x^2 - 18x - 4y^2 + 12y$

となる。

次に、平方完成を行う。

$9x^2 - 18x = 9(x^2 - 2x) = 9(x^2 - 2x + 1 - 1) = 9((x-1)^2 - 1) = 9(x-1)^2 - 9$

$-4y^2 + 12y = -4(y^2 - 3y) = -4(y^2 - 3y + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = -4((y-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) = -4(y-\frac{3}{2})^2 + 9$

したがって、与えられた式は

$9(x-1)^2 - 9 - 4(y-\frac{3}{2})^2 + 9 = 9(x-1)^2 - 4(y-\frac{3}{2})^2$

となる。

これは、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形の因数分解を利用できる。

$9(x-1)^2 = (3(x-1))^2 = (3x-3)^2$

$4(y-\frac{3}{2})^2 = (2(y-\frac{3}{2}))^2 = (2y-3)^2$

したがって、

$9(x-1)^2 - 4(y-\frac{3}{2})^2 = (3x-3)^2 - (2y-3)^2 = ((3x-3) + (2y-3))((3x-3) - (2y-3)) = (3x-3+2y-3)(3x-3-2y+3) = (3x+2y-6)(3x-2y)$

3. 最終的な答え

$(3x+2y-6)(3x-2y)$