以下の6つの方程式または不等式を解きます。 (1) $2^{-3x} = \frac{1}{16}$ (2) $5^{2x+1} > 125$ (3) $0.3^{2x-1} < 0.09$ (4) $4^x + 2^{x+1} - 3 < 0$ (5) $\log_2(x-1) + \log_2 4 = 0$ (6) $\log_3(x-1) < 2$

1. 問題の内容

以下の6つの方程式または不等式を解きます。

(1) $2^{-3x} = \frac{1}{16}$

(2) $5^{2x+1} > 125$

(3) $0.3^{2x-1} < 0.09$

(4) $4^x + 2^{x+1} - 3 < 0$

(5) $\log_2(x-1) + \log_2 4 = 0$

(6) $\log_3(x-1) < 2$

2. 解き方の手順

(1) $2^{-3x} = \frac{1}{16}$

$\frac{1}{16}$ を $2$ の累乗で表すと、$\frac{1}{16} = 2^{-4}$ となります。よって、

$2^{-3x} = 2^{-4}$

指数を比較すると、 $-3x = -4$ となります。

$x = \frac{4}{3}$

(2) $5^{2x+1} > 125$

$125$ を $5$ の累乗で表すと、 $125 = 5^3$ となります。よって、

$5^{2x+1} > 5^3$

指数を比較すると、$2x+1 > 3$ となります。

$2x > 2$

$x > 1$

(3) $0.3^{2x-1} < 0.09$

$0.09$ を $0.3$ の累乗で表すと、 $0.09 = 0.3^2$ となります。よって、

$0.3^{2x-1} < 0.3^2$

底が $0.3$ であり、$0 < 0.3 < 1$ なので、指数を比較するときに不等号の向きが反転します。

$2x-1 > 2$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

(4) $4^x + 2^{x+1} - 3 < 0$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ であり、$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ です。$y = 2^x$ とすると、不等式は次のようになります。

$y^2 + 2y - 3 < 0$

$(y+3)(y-1) < 0$

この不等式を満たすのは $-3 < y < 1$ のときです。

$y = 2^x$ なので、 $-3 < 2^x < 1$ となります。

$2^x$ は常に正なので、$0 < 2^x < 1$ を解けばよいです。

$2^x < 1$ は、$2^x < 2^0$ と書けるので、$x < 0$ となります。

(5) $\log_2(x-1) + \log_2 4 = 0$

対数の性質より、$\log_2 4 = 2$ なので、

$\log_2(x-1) + 2 = 0$

$\log_2(x-1) = -2$

$x-1 = 2^{-2}$

$x-1 = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$

ここで、真数条件 $x-1 > 0$ を確認すると、$x > 1$ であり、$x = \frac{5}{4} > 1$ を満たしています。

(6) $\log_3(x-1) < 2$

$\log_3(x-1) < 2$ は、$\log_3(x-1) < \log_3 3^2$ と書けます。

$\log_3(x-1) < \log_3 9$

$x-1 < 9$

$x < 10$

ここで、真数条件 $x-1 > 0$ を確認すると、$x > 1$ となります。

よって、$1 < x < 10$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{4}{3}$

(2) $x > 1$

(3) $x > \frac{3}{2}$

(4) $x < 0$

(5) $x = \frac{5}{4}$

(6) $1 < x < 10$