与えられた分数式 $\frac{2x^3 - 7x^2 + 11x - 16}{x(x-2)^3}$ を、部分分数分解した形 $\frac{a}{x} + \frac{b}{x-2} + \frac{c}{(x-2)^2} + \frac{d}{(x-2)^3}$ で表せるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求めます。

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{2x^3 - 7x^2 + 11x - 16}{x(x-2)^3}$ を、部分分数分解した形 $\frac{a}{x} + \frac{b}{x-2} + \frac{c}{(x-2)^2} + \frac{d}{(x-2)^3}$ で表せるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、両辺に $x(x-2)^3$ を掛けます。

$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = a(x-2)^3 + bx(x-2)^2 + cx(x-2) + dx$

次に、この式が恒等式となるように $a, b, c, d$ を求めます。

$x = 0$ を代入すると、

$-16 = a(-2)^3$

$-16 = -8a$

$a = 2$

$x = 2$ を代入すると、

$2(2)^3 - 7(2)^2 + 11(2) - 16 = 2(8) - 7(4) + 22 - 16 = 16 - 28 + 22 - 16 = -6$

$-6 = d(2)$

$d = -3$

$a$ と $d$ の値が分かったので、元の式に代入して整理します。

$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = 2(x-2)^3 + bx(x-2)^2 + cx(x-2) - 3x$

$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = 2(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + bx(x^2 - 4x + 4) + cx^2 - 2cx - 3x$

$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = 2x^3 - 12x^2 + 24x - 16 + bx^3 - 4bx^2 + 4bx + cx^2 - 2cx - 3x$

係数を比較します。

$x^3$ の係数: $2 = 2 + b$ より $b = 0$

$x^2$ の係数: $-7 = -12 - 4b + c$ より $-7 = -12 + c$ なので $c = 5$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 0, c = 5, d = -3$

## (2) の問題

1. 問題の内容

$x, y, z$ が $x - 2y + z = 4$ および $2x + y - 3z = -7$ を満たすとき、$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ が常に成り立つように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x - 2y + z = 4$ と $2x + y - 3z = -7$ から $x, y$ を $z$ で表します。

$x - 2y + z = 4$ より $x = 2y - z + 4$

$2x + y - 3z = -7$ に代入して、$2(2y - z + 4) + y - 3z = -7$

$4y - 2z + 8 + y - 3z = -7$

$5y - 5z = -15$

$y = z - 3$

したがって、$x = 2(z-3) - z + 4 = 2z - 6 - z + 4 = z - 2$

$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ に $x = z - 2$ および $y = z - 3$ を代入します。

$a(z-2)^2 + 2b(z-3)^2 + 3cz^2 = 18$

$a(z^2 - 4z + 4) + 2b(z^2 - 6z + 9) + 3cz^2 = 18$

$(a + 2b + 3c)z^2 + (-4a - 12b)z + (4a + 18b) = 18$

これが $z$ についての恒等式であるためには、各係数が一致する必要があります。

$z^2$ の係数: $a + 2b + 3c = 0$

$z$ の係数: $-4a - 12b = 0$

定数項: $4a + 18b = 18$

$-4a - 12b = 0$ より、 $a = -3b$

$4a + 18b = 18$ に代入して、$4(-3b) + 18b = 18$

$-12b + 18b = 18$

$6b = 18$

$b = 3$

$a = -3(3) = -9$

$a + 2b + 3c = 0$ に $a = -9$ と $b = 3$ を代入して、

$-9 + 2(3) + 3c = 0$

$-9 + 6 + 3c = 0$

$-3 + 3c = 0$

$3c = 3$

$c = 1$

3. 最終的な答え

$a = -9, b = 3, c = 1$