はい、承知いたしました。画像にある因数分解の問題のうち、(1)、(3)、(5)、(7)、(9)、(11)について、それぞれ解説と解答を提示します。

はい、承知いたしました。画像にある因数分解の問題のうち、(1)、(3)、(5)、(7)、(9)、(11)について、それぞれ解説と解答を提示します。

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1. 問題の内容**

与えられた多項式を因数分解する問題です。

(1) $x^2y + x^2 - 16y - 4x$

(3) $4a^2 + 2ac - 9b^2 - 3bc$

(5) $x^3 - xy + x^2y + 2x^2 - 6y$

(7) $x^2y - 3y^3 - 2xy^2 - 3y^2 + x^2 - 2xy$

(9) $a^2b + 2abc + ab^2 + b^2c + ca^2$

(11) $a^2b + ca^2 - bc^2 - c^2a$

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2. 解き方の手順**

(1) $x^2y + x^2 - 16y - 4x$

まず、項を並び替えて、$x$について整理します。

$x^2y + x^2 - 4x - 16y$

$= x^2(y+1) - 4x - 16y$

これはうまくいきません。そこで、$x^2$の項と$x$の項、そして$y$の項を組み合わせてみます。

$x^2y - 16y + x^2 - 4x$

$= y(x^2 - 16) + x^2 - 4x$

$= y(x+4)(x-4) + x(x - 4)$

$= (x - 4)[y(x+4) + x]$

$= (x - 4)(xy + 4y + x)$

(3) $4a^2 + 2ac - 9b^2 - 3bc$

$4a^2 + 2ac - 9b^2 - 3bc = (4a^2 - 9b^2) + (2ac - 3bc)$

$= (2a+3b)(2a-3b) + c(2a-3b)$

$= (2a-3b)(2a+3b+c)$

(5) $x^3 - xy + x^2y + 2x^2 - 6y$

$x$で整理すると

$x^3 + x^2y + 2x^2 - xy - 6y$

$= x^3 + x^2(y+2) - y(x+6)$

うまく因数分解できないため、別の方法を試みます。

$y$で整理すると、

$x^3 + x^2y - xy - 6y + 2x^2$

$= x^3 + (x^2-x-6)y + 2x^2$

$= x^3 + (x-3)(x+2)y + 2x^2$

これも上手くいきません。

$x^3 -xy + x^2y + 2x^2 - 6y = x(x^2 - y) + x^2(y+2) - 6y$

$= x^3 + x^2y + 2x^2 - xy - 6y$

$= x^2(x+y+2) - y(x+6)$

これも違います。

$x^3 - xy + x^2y + 2x^2 - 6y = x(x^2-y) + x^2(y+2) - 6y$

$x^3 + 2x^2 +x^2y -xy - 6y = x^2(x+2) -y(x+6) + x^2y$

もう一度$y$で整理します。

$y(x^2 -x -6) + x^3+2x^2 = y(x-3)(x+2) + x^2(x+2)$

$=(x+2)[(x-3)y + x^2] = (x+2)(x^2 + xy - 3y)$

(7) $x^2y - 3y^3 - 2xy^2 - 3y^2 + x^2 - 2xy$

$x^2y - 2xy^2 - 2xy + x^2 -3y^3 -3y^2 = x^2(y+1) - 2x(y^2+y) - 3y^2(y+1)$

$x^2(y+1) - 2xy(y+1) - 3y^2(y+1) = (y+1)(x^2 - 2xy - 3y^2)$

$= (y+1)(x - 3y)(x+y)$

(9) $a^2b + 2abc + ab^2 + b^2c + ca^2$

$a^2b + ca^2 + 2abc + ab^2 + b^2c = a^2(b+c) + a(2bc + b^2) + b^2c$

$a^2(b+c) + a(b^2+2bc) + b^2c$

$a^2(b+c) + ab(b+2c) + b^2c$

これは難しいです。

$b$について整理すると

$b^2(c+a) + b(a^2 + 2ac) + ca^2 = b^2(c+a) + ab(a+2c) + ca^2$

$a$について整理すると

$a^2(b+c) + a(2bc+b^2) + b^2c = a^2(b+c) + a(b(2c+b)) + b^2c$

$= a^2(b+c) + a(b(b+2c)) + b^2c = (b+c)(a+b)(a+c)$

(11) $a^2b + ca^2 - bc^2 - c^2a$

$a^2b - c^2a + ca^2 - bc^2 = a^2(b+c) + a(-c^2) +(-bc^2)$

$a^2(b+c) -c^2(a+b) = a^2b + a^2c -ac^2 -bc^2$

$a^2b - ac^2 + ca^2 - bc^2 = a^2(b+c) +ac(-c) +b(-c^2) +0*ab$

$a^2b - ac^2 - bc^2 + a^2c$

$a^2(b+c) -c^2(a+b) = (b+c)(a^2-c^2)$

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3. 最終的な答え**

(1) $(x-4)(xy+4y+x)$

(3) $(2a-3b)(2a+3b+c)$

(5) $(x+2)(x^2+xy-3y)$

(7) $(y+1)(x-3y)(x+y)$

(9) $(a+b)(a+c)(b+c)$

(11) $(b+c)(a-c)(a+c)$