与えられた円の方程式から、円の中心と半径を求めたり、与えられた条件を満たす円の方程式を求めたり、円と直線の位置関係を調べたりする問題です。具体的には、以下の問題を解きます。 (1) $x^2 + y^2 + 4x = 0$ の中心と半径を求める (2) $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ の中心と半径を求める (3) 中心が$(-2, 3)$で半径が4の円の方程式を求める (4) 中心が$(-3, 2)$で点$(1, -1)$を通る円の方程式を求める (5) 中心が$(-1, -2)$でx軸に接する円の方程式を求める (6) $(2, 5)$と$(0, -1)$を直径の両端に持つ円の方程式を求める (7) $(0, 4)$, $(0, 0)$, $(-1, 5)$を通る円の方程式を求める (8) $(2, 1)$を通り、x軸およびy軸に接する円の方程式を求める (9) $x^2 + y^2 = 5$ と $x - 2y + 3 = 0$ の位置関係を調べる (10) $x^2 + 6x + y^2 + 2y + 6 = 0$ と $y = -x$ の位置関係を調べる

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた円の方程式から、円の中心と半径を求めたり、与えられた条件を満たす円の方程式を求めたり、円と直線の位置関係を調べたりする問題です。具体的には、以下の問題を解きます。

(1) $x^2 + y^2 + 4x = 0$ の中心と半径を求める

(2) $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ の中心と半径を求める

(3) 中心が$(-2, 3)$で半径が4の円の方程式を求める

(4) 中心が$(-3, 2)$で点$(1, -1)$を通る円の方程式を求める

(5) 中心が$(-1, -2)$でx軸に接する円の方程式を求める

(6) $(2, 5)$と$(0, -1)$を直径の両端に持つ円の方程式を求める

(7) $(0, 4)$, $(0, 0)$, $(-1, 5)$を通る円の方程式を求める

(8) $(2, 1)$を通り、x軸およびy軸に接する円の方程式を求める

(9) $x^2 + y^2 = 5$ と $x - 2y + 3 = 0$ の位置関係を調べる

(10) $x^2 + 6x + y^2 + 2y + 6 = 0$ と $y = -x$ の位置関係を調べる

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 + 4x = 0$

円の方程式の一般形は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ です（中心$(a, b)$、半径$r$）。

与えられた式を平方完成します。

$x^2 + 4x + y^2 = 0$

$(x + 2)^2 - 4 + y^2 = 0$

$(x + 2)^2 + y^2 = 4 = 2^2$

中心は $(-2, 0)$、半径は $2$。

(2) $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$

与えられた式を平方完成します。

$x^2 - 4x + y^2 + 2y + 4 = 0$

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + 4 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1 = 1^2$

中心は $(2, -1)$、半径は $1$。

(3) 中心が$(-2, 3)$、半径が$4$

円の方程式は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ です。

中心が$(-2, 3)$なので、$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(4) 中心が$(-3, 2)$で点$(1, -1)$を通る

中心が$(-3, 2)$なので、$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = r^2$

点$(1, -1)$を通るので、$(1 + 3)^2 + (-1 - 2)^2 = r^2$

$4^2 + (-3)^2 = r^2$

$16 + 9 = r^2$

$r^2 = 25$

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$

(5) 中心が$(-1, -2)$でx軸に接する

中心が$(-1, -2)$なので、$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = r^2$

x軸に接するので、半径は中心のy座標の絶対値 $|-2| = 2$

$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$

(6) $(2, 5)$と$(0, -1)$を直径の両端に持つ

中心は、直径の両端の中点なので、$\left(\frac{2 + 0}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right) = (1, 2)$

半径は、中心と片方の端点の距離なので、$\sqrt{(2 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$

(7) $(0, 4)$, $(0, 0)$, $(-1, 5)$を通る

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく

$(0, 4)$ を通るので $0 + 16 + 0 + 4b + c = 0$ より $4b + c = -16$

$(0, 0)$ を通るので $0 + 0 + 0 + 0 + c = 0$ より $c = 0$

$(-1, 5)$ を通るので $1 + 25 - a + 5b + c = 0$ より $-a + 5b + c = -26$

$c = 0$ を代入すると

$4b = -16$ より $b = -4$

$-a + 5(-4) = -26$ より $-a - 20 = -26$ より $-a = -6$ より $a = 6$

$x^2 + y^2 + 6x - 4y = 0$

(8) $(2, 1)$を通り、x軸およびy軸に接する

中心は $(r, r)$ と置けるので $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$

$(2, 1)$ を通るので $(2 - r)^2 + (1 - r)^2 = r^2$

$4 - 4r + r^2 + 1 - 2r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r - 1)(r - 5) = 0$

$r = 1$ または $r = 5$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ または $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

(9) $x^2 + y^2 = 5$ と $x - 2y + 3 = 0$

$x = 2y - 3$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入すると

$(2y - 3)^2 + y^2 = 5$

$4y^2 - 12y + 9 + y^2 = 5$

$5y^2 - 12y + 4 = 0$

判別式 $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 > 0$

2点で交わる

(10) $x^2 + 6x + y^2 + 2y + 6 = 0$ と $y = -x$

$x^2 + 6x + (-x)^2 + 2(-x) + 6 = 0$

$x^2 + 6x + x^2 - 2x + 6 = 0$

$2x^2 + 4x + 6 = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

判別式 $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$

共有点を持たない

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(-2, 0)$、半径 $2$

(2) 中心 $(2, -1)$、半径 $1$

(3) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(4) $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$

(5) $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$

(6) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$

(7) $x^2 + y^2 + 6x - 4y = 0$

(8) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ または $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

(9) 2点で交わる

(10) 共有点を持たない