(1) 集合 $\{a, b\}$ の部分集合を全て求めます。 (2) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 4, 5, 7, 8\}$、 $B = \{1, 2, 4, 9\}$ が与えられています。ド・モルガンの法則を用いて、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A \cap B}$ (2) $\overline{A \cup B}$ さらに、ド・モルガンの法則 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ と $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ の説明を完成させます。

以下に、問題の解答を記述します。

1. 問題の内容

(1) 集合 $\{a, b\}$ の部分集合を全て求めます。

(2) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 4, 5, 7, 8\}$、 $B = \{1, 2, 4, 9\}$ が与えられています。ド・モルガンの法則を用いて、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A \cap B}$

(2) $\overline{A \cup B}$

さらに、ド・モルガンの法則 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ と $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ の説明を完成させます。

2. 解き方の手順

(1) 集合 $\{a, b\}$ の部分集合は、空集合 $\emptyset$、$\{a\}$、$\{b\}$、$\{a, b\}$ です。

(2)

(1) まず、$A \cap B$ を求めます。$A \cap B = \{2, 4\}$。

次に、$\overline{A \cap B}$ を求めます。$U$ の中で $A \cap B$ に含まれない要素を集めます。 $\overline{A \cap B} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$。

(2) まず、$A \cup B$ を求めます。$A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 9\}$。

次に、$\overline{A \cup B}$ を求めます。$U$ の中で $A \cup B$ に含まれない要素を集めます。$\overline{A \cup B} = \{3, 6\}$。

図3の斜線部分は$\overline{A} \cap \overline{B}$で、$U$の中で$A$にも$B$にも含まれない要素です。よって$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$が成り立ちます。

図4の斜線部分は$\overline{A} \cup \overline{B}$で、$U$の中で$A$に含まれない要素と$B$に含まれない要素の和集合です。よって$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\{a, b\}$ の部分集合: $\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}$

(2)

(1) $\overline{A \cap B} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(2) $\overline{A \cup B} = \{3, 6\}$

図3の斜線部分は$\overline{A \cup B}$で、$\overline{A \cup B}$ = $\overline{A} \cap \overline{B}$ が成り立つ。

図4の斜線部分は$\overline{A \cap B}$で、$\overline{A \cap B}$ = $\overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つ。