大小中の3つのサイコロを投げたとき、出た目の合計が7になる場合は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

大小中の3つのサイコロを投げたとき、出た目の合計が7になる場合は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

大小中のサイコロの目をそれぞれ $x, y, z$ とします。

$x, y, z$ はそれぞれ1から6までの整数です。

求めるべきは、

$x + y + z = 7$

となる $x, y, z$ の組み合わせの数です。

まず、$x, y, z$ がすべて1以上の整数であることから、$x', y', z'$ を以下のように定義します。

$x' = x - 1$

$y' = y - 1$

$z' = z - 1$

すると、$x', y', z'$ はそれぞれ0以上の整数となります。

また、$x = x' + 1$, $y = y' + 1$, $z = z' + 1$ なので、$x + y + z = 7$ は、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 7$

$x' + y' + z' = 4$

となります。

したがって、この問題を「0以上の整数 $x', y', z'$ の合計が4になる組み合わせの数を求める」という問題に帰着させることができます。

さらに、$x, y, z$ が6以下という条件を考慮する必要があります。

$x', y', z'$ で表すと$x'+1 \leq 6, y'+1 \leq 6, z'+1 \leq 6$, つまり$x'\leq 5, y' \leq 5, z' \leq 5$となります。$x' + y' + z' = 4$のときはこれは常に満たされます。

$x' + y' + z' = 4$ となる0以上の整数の組み合わせの数は、重複組み合わせの公式を用いると求められます。

重複組み合わせの公式は、$n$ 種類の物から重複を許して $r$ 個選ぶ組み合わせの数が $_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$ で求められるというものです。

今回は、3種類の物($x', y', z'$)から重複を許して4個選ぶ組み合わせの数を求めるので、$n = 3, r = 4$ として、

$_{3}H_{4} = _{3+4-1}C_{4} = _{6}C_{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

となります。

3. 最終的な答え

15通り