整式 $P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $-12$、 $x-3$ で割った余りが $13$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $-12$、 $x-3$ で割った余りが $13$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

余りの定理より、$P(-2) = -12$、$P(3) = 13$ が成り立ちます。

$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割った余りは、1次以下の整式となるので、$ax + b$ とおきます。

すると、$P(x) = (x^2 - x - 6)Q(x) + ax + b$ と表せます ($Q(x)$は商)。

$x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)$ なので、$P(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + ax + b$ とも表せます。

したがって、$P(-2) = -2a + b = -12$、$P(3) = 3a + b = 13$ が成り立ちます。

この2つの式から $a$ と $b$ を求めます。

連立方程式を解くと、

$3a + b = 13$

$-2a + b = -12$

上の式から下の式を引くと、 $5a = 25$ となり、$a = 5$ が得られます。

$a = 5$ を $3a + b = 13$ に代入すると、$15 + b = 13$ より、$b = -2$ が得られます。

したがって、求める余りは $5x - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$5x - 2$