$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ における関数 $y = -\sin 2\theta + \sqrt{3} \cos 2\theta$ の最大値および最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ における関数 $y = -\sin 2\theta + \sqrt{3} \cos 2\theta$ の最大値および最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = -\sin 2\theta + \sqrt{3} \cos 2\theta$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$y = R \sin (2\theta + \alpha)$ と置くと、

$R \cos \alpha = -\sin 2\theta$ の係数 $-1$, $R \sin \alpha = \cos 2\theta$ の係数 $\sqrt{3}$ となります。

$R = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = \frac{2}{3} \pi$

したがって、

$y = 2 \sin (2\theta + \frac{2}{3} \pi)$

$2\theta + \frac{2}{3} \pi = \beta$ とおくと、

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ より

$0 \le 2\theta < \pi$

$\frac{2}{3} \pi \le 2\theta + \frac{2}{3} \pi < \pi + \frac{2}{3} \pi = \frac{5}{3} \pi$

したがって、 $\frac{2}{3} \pi \le \beta < \frac{5}{3} \pi$

$\sin \beta$ は $\beta = \frac{\pi}{2}$ で最大値 $1$ をとります。

$\beta = \frac{3}{2} \pi$ で最小値 $-1$ をとります。

$\frac{2}{3} \pi \le \beta < \frac{5}{3} \pi$ なので、$\sin \beta$ の最大値は $1$ です。($\frac{\pi}{2}$が含まれるから)

最小値は $\sin(\frac{2}{3} \pi)$ または $\sin(\frac{5}{3} \pi)$ でとります。

$\sin(\frac{2}{3} \pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{5}{3} \pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\beta = \frac{5}{3} \pi$ で $\sin \beta$ は最小値 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ をとります。

したがって、関数 $y = 2 \sin \beta$ の最大値は $2 \cdot 1 = 2$ であり、最小値は $2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

エ：2

オ：2

カ：3

キ：5

ク：3

ケ：1

コ：1

サ：5

シ：3

ス：2

セ：8