関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、 $u(x)$ と $v(x)$ を $x$ の関数としたとき、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

で与えられます。

この問題では、 $u(x) = e^x - e^{-x}$ および $v(x) = e^x + e^{-x}$ とおきます。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の導関数を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) = e^x + (-1)e^{-x} = e^x - e^{-x}$

次に、商の微分公式を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

分子を展開すると、

$(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) = e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

$(e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x}) = e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

分母は、

$(e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{e^{2x} + 2 + e^{-2x}} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

また、$e^x + e^{-x} = 2\cosh x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{(2 \cosh x)^2} = \frac{4}{4 \cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$

$y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \tanh x$ であるから、$y' = \operatorname{sech}^2 x$とすることもできる。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$ または $\operatorname{sech}^2 x$