△ABCにおいて、AB = 6, BC = 8とし、辺BCを1:3に内分する点をDとする。また、点Oを中心とし、2点C、Dを通る円Oが辺AB上の点Eで辺ABに接している。円Oと辺ACの交点のうち、点Cと異なるものをFとする。このとき、以下の値を求めよ。 (1) BD (2) 方べきの定理より BE (3) 線分ADと線分CFの交点をGとするとき AG/GD * GC/EG (4) ∠ACE = ∠BCEとするとき AC (5) AF

1. 問題の内容

△ABCにおいて、AB = 6, BC = 8とし、辺BCを1:3に内分する点をDとする。また、点Oを中心とし、2点C、Dを通る円Oが辺AB上の点Eで辺ABに接している。円Oと辺ACの交点のうち、点Cと異なるものをFとする。このとき、以下の値を求めよ。

(1) BD

(2) 方べきの定理より BE

(3) 線分ADと線分CFの交点をGとするとき AG/GD * GC/EG

(4) ∠ACE = ∠BCEとするとき AC

(5) AF

2. 解き方の手順

(1) BDを求める。

BDはBCを1:3に内分するので、$BD = \frac{1}{4} BC = \frac{1}{4} \times 8 = 2$

(2) 方べきの定理よりBEを求める。

方べきの定理より、$BE^2 = BD \times BC$であるから、$BE^2 = 2 \times 8 = 16$

よって、$BE = 4$

(3) 線分ADと線分CFの交点をGとするとき AG/GD * GC/EGを求める。

チェバの定理より、$\frac{AF}{FC} \times \frac{CB}{BD} \times \frac{DE}{EA} = 1$

メネラウスの定理より$\frac{AG}{GD} \times \frac{DB}{BC} \times \frac{CF}{FA}=1$

$\frac{AG}{GD} \times \frac{DB}{BC} \times \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{AG}{GD} \times \frac{2}{8} \times \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{AG}{GD} = 4\frac{FA}{CF}$

$\frac{AG}{GD} \cdot \frac{GC}{EG} = \frac{AB}{BE} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$AG/GD * GC/EG = AB/BE = 6/4 = 3/2$

(4) ∠ACE = ∠BCEとするとき ACを求める。

角の二等分線の定理より、$AC:BC = AE:BE$

$AC:8 = (6-4):4$

$AC:8 = 2:4$

$4AC = 16$

$AC=4$

(5) AFを求める。

AC=4、AB=6

方べきの定理より、$AF * AC = AE * AB$

$AF * 4 = 2 * 6 = 12$

$AF = 3$

3. 最終的な答え

(1) BD = 2

(2) BE = 4

(3) AG/GD * GC/EG = 3/2

(4) AC = 4

(5) AF = 3