数直線上を運動する点Pの座標 $x$ が、時刻 $t$ の関数として $x = -t^3 + 6t^2$ ($t \geq 0$) で表されるとき、速度 $\frac{dx}{dt}$、点Pが原点から正の方向に最も離れる時刻 $t$、そのときの速度、加速度を求める。

1. 問題の内容

数直線上を運動する点Pの座標 $x$ が、時刻 $t$ の関数として $x = -t^3 + 6t^2$ ($t \geq 0$) で表されるとき、速度 $\frac{dx}{dt}$、点Pが原点から正の方向に最も離れる時刻 $t$、そのときの速度、加速度を求める。

2. 解き方の手順

まず、速度 $\frac{dx}{dt}$ を求める。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2) = -3t^2 + 12t$

点Pが原点から正の方向に最も離れるとき、速度は0になる。

$-3t^2 + 12t = 0$

$-3t(t - 4) = 0$

$t = 0$ または $t = 4$

$t = 0$ のとき、点Pは原点にいるので、求める時刻は $t = 4$ である。

$t=4$のときの速度は0である。

次に、加速度 $\frac{d^2x}{dt^2}$ を求める。

$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 12t) = -6t + 12$

$t=4$のときの加速度は、

$-6(4) + 12 = -24 + 12 = -12$

3. 最終的な答え

$\frac{dx}{dt} = -3t^2 + 12t$

$t = 4$

速度は $0$

加速度は $-12$