$\sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$ を計算します。

1. 問題の内容

$\sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$ を計算します。

2. 解き方の手順

この級数は、部分和を考えるとわかりやすくなります。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$ とします。

$S_N = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1})$

これはtelescoping sumと呼ばれるもので、多くの項が打ち消し合います。

具体的に書くと、

$S_N = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + \cdots + (\sqrt{N+1} - \sqrt{N}) + (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1})$

$S_N = -\sqrt{2} + \sqrt{N+2}$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} (-\sqrt{2} + \sqrt{N+2})$

$\lim_{N \to \infty} (-\sqrt{2} + \sqrt{N+2}) = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$