関数 $y = e^{\sin x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\sin x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

関数 $y = e^{\sin x}$ を微分するには、合成関数の微分法（チェーンルール）を用いる。

チェーンルールとは、$y = f(u)$ かつ $u = g(x)$ のとき、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

が成り立つというものである。

この問題では、$y = e^u$ かつ $u = \sin x$ と考える。

まず、$y = e^u$ を $u$ で微分すると、

$$\frac{dy}{du} = e^u$$

次に、$u = \sin x$ を $x$ で微分すると、

$$\frac{du}{dx} = \cos x$$

よって、チェーンルールより、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot \cos x = e^{\sin x} \cos x$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{\sin x} \cos x$