関数 $f(x)=|x-8|\sqrt{x-2}$ について、定義域、導関数、極値などを求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)=|x-8|\sqrt{x-2}$ について、定義域、導関数、極値などを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域について:

平方根の中身は0以上である必要があるため、$x-2 \geq 0$ より、$x \geq 2$。よって、定義域は $x \geq 2$。

画像の記述より、定義域は $x\geq$ 1であると書かれていますが、$x\geq$ 2が正しいです。ここでは、画像の記述に沿って進めます。

(2) $f'(x)$ について:

まず、$x>8$ のとき、$f(x) = (x-8)\sqrt{x-2}$ なので、

$f'(x) = \sqrt{x-2} + (x-8) \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{2(x-2) + (x-8)}{2\sqrt{x-2}} = \frac{3x-12}{2\sqrt{x-2}} = \frac{3(x-4)}{2\sqrt{x-2}}$.

よって、$f'(x) = \frac{3(x-4)}{2\sqrt{x-2}}$。

次に、$2 < x < 8$ のとき、$f(x) = -(x-8)\sqrt{x-2}$ なので、

$f'(x) = -\sqrt{x-2} - (x-8) \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{-2(x-2) - (x-8)}{2\sqrt{x-2}} = \frac{-3x+12}{2\sqrt{x-2}} = \frac{-3(x-4)}{2\sqrt{x-2}}$.

よって、$f'(x) = \frac{-3(x-4)}{2\sqrt{x-2}}$。

$x>8$ のときの $f'(x)$ の式と問題文の $f'(x) = \frac{2(x-3)}{4\sqrt{x-2}}$の形が異なります。

$f'(x) = \frac{3(x-4)}{2\sqrt{x-2}} = \frac{6(x-4)}{4\sqrt{x-2}}$なので、$2(x-3)$の部分が、$6(x-4)$になる必要があります。

よって、問題文は間違っています。

(3) $f'(x)$ の符号変化について:

$2 < x < 8$のとき、$f'(x)$は $x=4$で符号変化する。$x=4$の前では正、後では負。

$x > 8$のとき、$f'(x)$は常に正。

よって、$f'(x)$は $x = 4$ の前後で符号変化する。

(4) 極値について:

$x=4$で極大値をとる。$f(4) = |4-8|\sqrt{4-2} = 4\sqrt{2}$。

$x=8$で極小値をとる。$f(8) = |8-8|\sqrt{8-2} = 0$。

3. 最終的な答え

1: 2

2: 3

3: 6

4: 3

5: 0

6: 4

7: 4

8: 4

9: 2

10: 8

11: 0