関数 $f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) について、導関数 $f'(x)$ と二階導関数 $f''(x)$ を求め、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求め、その $x$ における $f''(x)$ の符号を調べることで極値を求める問題です。また、選択肢から適切な不等号を選ぶ問題も含まれています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) について、導関数 $f'(x)$ と二階導関数 $f''(x)$ を求め、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求め、その $x$ における $f''(x)$ の符号を調べることで極値を求める問題です。また、選択肢から適切な不等号を選ぶ問題も含まれています。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ より、

$f'(x) = 1 - \sqrt{2} \sin x$

(2) $f''(x)$ を求める。

$f'(x) = 1 - \sqrt{2} \sin x$ より、

$f''(x) = -\sqrt{2} \cos x$

(3) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$1 - \sqrt{2} \sin x = 0$ より、$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、これを満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{3\pi}{4}$。しかし、問題文から$x=\frac{8}{9}\pi$でも、$f'(x)=0$である必要があるため、$x=\frac{\pi}{4}$に注目すると、問題文では$x=\frac{\pi}{4}$と$x=\frac{8}{9}\pi$の二つ場合を考慮していると読み取れる。

(4) $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f''\left(\frac{\pi}{4}\right)$ の符号を調べる。

$f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -1 < 0$

(5) $x = \frac{8\pi}{9}$ のとき、$f''\left(\frac{8\pi}{9}\right)$ の符号を調べる。

$f''\left(\frac{8\pi}{9}\right) = -\sqrt{2} \cos\left(\frac{8\pi}{9}\right) > 0$

なぜなら、$\frac{\pi}{2} < \frac{8\pi}{9} < \pi$ なので、$\cos\left(\frac{8\pi}{9}\right) < 0$。

(6) $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ を求める。

$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} + 1$

(7) $f\left(\frac{8\pi}{9}\right)$ を求める。

$f\left(\frac{8\pi}{9}\right) = \frac{8\pi}{9} + \sqrt{2} \cos\left(\frac{8\pi}{9}\right)$。$\cos\left(\frac{8\pi}{9}\right) \approx -0.9397$ なので、$f\left(\frac{8\pi}{9}\right) \approx \frac{8\pi}{9} + \sqrt{2} (-0.9397) \approx 2.7925 - 1.329 = 1.4635$

$f(\frac{8}{9}\pi) = \frac{8}{9}\pi + \sqrt{2} \cos(\frac{8}{9}\pi)$

$\cos(\frac{8}{9}\pi) = -\cos(\pi-\frac{8}{9}\pi)=-\cos(\frac{\pi}{9})$

$f(\frac{8}{9}\pi) = \frac{8}{9}\pi - \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{9})$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 1 - \sqrt{2} \sin x$

$f''(x) = -\sqrt{2} \cos x$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ で $f''\left(\frac{\pi}{4}\right) < 0$ であり、極大値 $\frac{\pi}{4} + 1$ をとる。

$x = \frac{8\pi}{9}$ のとき、$f'\left(\frac{8\pi}{9}\right) = 0$ で $f''\left(\frac{8\pi}{9}\right) > 0$ であり、極小値 $\frac{8}{9}\pi - \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{9})$ をとる。

1: 1

2: 2

3: 2

4: 4

5: 2

6: 4

7: 1

8: 8

9: 9

10: 1

11: 8

12: 9

13: $\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{9})$

選択肢5：②

選択肢10：①