問題は、次の2つの不定積分を求めることです。積分定数に注意する必要があります。 (a) $\int (e^{3x+1} + \sin 2x) dx$ (b) $\int x \log 2x dx$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの不定積分を求めることです。積分定数に注意する必要があります。

(a) $\int (e^{3x+1} + \sin 2x) dx$

(b) $\int x \log 2x dx$

2. 解き方の手順

(a) $\int (e^{3x+1} + \sin 2x) dx$ を計算します。

積分は線形性を持つので、各項を個別に積分できます。

まず、$\int e^{3x+1} dx$ を計算します。

$u = 3x+1$ と置換すると、$du = 3dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{3}du$ です。

よって、$\int e^{3x+1} dx = \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C_1 = \frac{1}{3} e^{3x+1} + C_1$ となります。

次に、$\int \sin 2x dx$ を計算します。

$v = 2x$ と置換すると、$dv = 2dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{2}dv$ です。

よって、$\int \sin 2x dx = \int \sin v \frac{1}{2} dv = \frac{1}{2} \int \sin v dv = \frac{1}{2} (-\cos v) + C_2 = -\frac{1}{2} \cos 2x + C_2$ となります。

したがって、$\int (e^{3x+1} + \sin 2x) dx = \frac{1}{3} e^{3x+1} - \frac{1}{2} \cos 2x + C$ となります。

(b) $\int x \log 2x dx$ を計算します。これは部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = \log 2x$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

$dv = x dx$ と置くと、$v = \frac{1}{2} x^2$ となります。

したがって、$\int x \log 2x dx = \frac{1}{2} x^2 \log 2x - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2} x^2 \log 2x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{1}{2} x^2 \log 2x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^2 + C = \frac{1}{2} x^2 \log 2x - \frac{1}{4} x^2 + C$ となります。

3. 最終的な答え

(a) $\int (e^{3x+1} + \sin 2x) dx = \frac{1}{3} e^{3x+1} - \frac{1}{2} \cos 2x + C$

(b) $\int x \log 2x dx = \frac{1}{2} x^2 \log 2x - \frac{1}{4} x^2 + C$