関数 $f(x) = x \tan^{-1} x$ について、導関数 $f'(x)$、および $f'(0)$ と $f'(1)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x \tan^{-1} x$ について、導関数 $f'(x)$、および $f'(0)$ と $f'(1)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x \tan^{-1} x$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$, $v = \tan^{-1} x$ とすると、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{1+x^2}$ となります。

したがって、

$$f'(x) = (x)' \tan^{-1} x + x (\tan^{-1} x)' = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \tan^{-1} x + \frac{x}{1+x^2}$$

次に、$f'(0)$ を求めます。

$f'(x) = \tan^{-1} x + \frac{x}{1+x^2}$ に $x=0$ を代入します。

$$f'(0) = \tan^{-1} 0 + \frac{0}{1+0^2} = 0 + 0 = 0$$

最後に、$f'(1)$ を求めます。

$f'(x) = \tan^{-1} x + \frac{x}{1+x^2}$ に $x=1$ を代入します。

$$f'(1) = \tan^{-1} 1 + \frac{1}{1+1^2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \tan^{-1} x + \frac{x}{1+x^2}$

$f'(0) = 0$

$f'(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$