点$(3, a)$を通り、曲線$y = -e^{-x}$ に2本の接線が引けるような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。途中まで解答が記述されており、空欄を埋め、最終的な$a$の範囲を選択肢から選びます。

1. 問題の内容

点$(3, a)$を通り、曲線$y = -e^{-x}$ に2本の接線が引けるような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。途中まで解答が記述されており、空欄を埋め、最終的な$a$の範囲を選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

まず、$y = -e^{-x}$ の導関数を求めます。

$y' = e^{-x}$

接点の$x$座標を $t$ とおくと、接点の座標は $(t, -e^{-t})$ です。

接線の方程式は、$y - (-e^{-t}) = e^{-t}(x - t)$ となり、

$y = e^{-t}x - te^{-t} - e^{-t} = e^{-t}x - (t+1)e^{-t}$ となります。

よって、最初の空欄は $1$ です。

この接線が点 $(3, a)$ を通るので、$a = e^{-t}(3 - (t+1)) = (2-t)e^{-t}$ となります。

よって、2番目の空欄は $2$ です。

$f(t) = (2-t)e^{-t}$ とおくと、$f'(t) = -e^{-t} - (2-t)e^{-t} = (t-3)e^{-t}$ となります。

$f'(t) = 0$ となるのは $t = 3$ のときです。

$t<3$ のとき $f'(t)<0$ であり、$t>3$ のとき $f'(t)>0$ なので、$t=3$ で極小値をとり、$f(3) = (2-3)e^{-3} = -e^{-3}$ となります。

$t$が十分に大きいとき、$f(t) = (2-t)e^{-t}$ は0に近づきます。$t$が十分に小さい（負に大きい）とき、$f(t) = (2-t)e^{-t}$ は正の無限大に発散します。

よって、$y=f(t)$ のグラフの概形は、④になります。

グラフより、$a$ の値の範囲は、$a > -e^{-3}$ です。

3. 最終的な答え

1: 1

2: 2

3: ④

4: ①

答え：$a > -e^{-3}$