三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがある。Qは辺CAの中点であり、$ \frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6} $、 $ \frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5} $ を満たしている。APとBQの交点をD, BQとCRの交点をE, CRとAPの交点をFとする。このとき、以下のベクトルを求め、面積比 $ \frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} $を求める問題である。 (1) $ \vec{AR} $ (2) $ \vec{AP} $, $ \vec{BQ} $ (3) $ \vec{AD} $, $ \vec{DE} $ (4) $ \frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} $

1. 問題の内容

三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがある。Qは辺CAの中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$、 $\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ を満たしている。APとBQの交点をD, BQとCRの交点をE, CRとAPの交点をFとする。このとき、以下のベクトルを求め、面積比 $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$を求める問題である。

(1) $\vec{AR}$

(2) $\vec{AP}$, $\vec{BQ}$

(3) $\vec{AD}$, $\vec{DE}$

(4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$ より、$\frac{1}{2} \cdot AR \cdot AQ \cdot \sin A = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$。

$AQ = \frac{1}{2} AC$ であるから、$AR \cdot \frac{1}{2} AC = \frac{1}{6} AB \cdot AC$。

したがって、$AR = \frac{1}{3} AB$。

$\vec{AR} = \frac{1}{3} \vec{AB}$。

(2)

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ より、$\frac{BP}{BC} = s$ とすると、$\frac{1}{2} \cdot BP \cdot BQ \cdot \sin B = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin B$。

$BQ = \frac{5}{6} BA = 0$。

$BP \cdot BA = \frac{2}{5} BC \cdot BA$, $BP = \frac{2}{5} BC = \frac{2}{5} ( \vec{AC}-\vec{AB} )$。

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{BC} = \vec{AB} + \frac{2}{5} ( \vec{AC} - \vec{AB} ) = \frac{3}{5} \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AC}$。

$\vec{BQ} = \vec{BA} + \vec{AQ} = -\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}$。

(3)

$\vec{AD} = k \vec{AP}$、$\vec{AD} = \vec{AB} + l \vec{BQ}$ とおく。

$k (\frac{3}{5} \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AC}) = \vec{AB} + l ( -\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC} )$

$\frac{3}{5} k = 1-l$, $\frac{2}{5} k = \frac{1}{2} l$。

$l = \frac{4}{5} k$ なので、$\frac{3}{5} k = 1 - \frac{4}{5} k$。

$\frac{7}{5} k = 1$、$k = \frac{5}{7}$。

$\vec{AD} = \frac{5}{7} \vec{AP} = \frac{5}{7} (\frac{3}{5} \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AC}) = \frac{3}{7} \vec{AB} + \frac{2}{7} \vec{AC}$。

$\vec{DE} = \vec{AE} - \vec{AD}$

(4)

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{AR} = \frac{1}{3} \vec{AB}$

(2)

$\vec{AP} = \frac{3}{5} \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AC}$

$\vec{BQ} = -\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}$

(3)

$\vec{AD} = \frac{3}{7} \vec{AB} + \frac{2}{7} \vec{AC}$

$\vec{DE} = -\frac{1}{13} \vec{AB} + \frac{2}{13} \vec{AC}$

(4)

$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{1}{91}$