曲線 $C: y = x^2(x+3)$ をx軸方向に$a$だけ平行移動した曲線を$D$とする。ただし、$a > 0$ である。以下の問いに答える。 (1) 曲線$D$の方程式を求める。 (2) 2曲線$C, D$が異なる2点で交わるような定数$a$の値の範囲を求める。 (3) 2曲線$C, D$で囲まれた図形の面積$S$を求める。 (4) $t = 12 - a^2$ とおくことにより、$S$が最大となるような定数$a$の値を求める。

## 回答

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^2(x+3)$ をx軸方向に$a$だけ平行移動した曲線を$D$とする。ただし、$a > 0$ である。以下の問いに答える。

(1) 曲線$D$の方程式を求める。

(2) 2曲線$C, D$が異なる2点で交わるような定数$a$の値の範囲を求める。

(3) 2曲線$C, D$で囲まれた図形の面積$S$を求める。

(4) $t = 12 - a^2$ とおくことにより、$S$が最大となるような定数$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線$D$の方程式を求める。

$y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動した曲線の方程式は $y = f(x-a)$ となる。したがって、曲線$D$の方程式は、

$y = (x-a)^2(x-a+3)$

$y = (x^2 - 2ax + a^2)(x - a + 3)$

$y = x^3 - ax^2 + 3x^2 - 2ax^2 + 2a^2x - 6ax + a^2x - a^3 + 3a^2$

$y = x^3 + (3 - 3a)x^2 + (3a^2 - 6a)x - a^3 + 3a^2$

(2) 2曲線$C, D$が異なる2点で交わるような定数$a$の値の範囲を求める。

$x^2(x+3) = (x-a)^2(x-a+3)$

$x^3 + 3x^2 = (x^2 - 2ax + a^2)(x-a+3)$

$x^3 + 3x^2 = x^3 -ax^2 + 3x^2 - 2ax^2 + 2a^2x - 6ax + a^2x - a^3 + 3a^2$

$x^3 + 3x^2 = x^3 + (3-3a)x^2 + (3a^2-6a)x - a^3 + 3a^2$

$0 = -3ax^2 + (3a^2 - 6a)x - a^3 + 3a^2$

$3ax^2 - (3a^2 - 6a)x + a^3 - 3a^2 = 0$

$3ax^2 - 3a(a-2)x + a^2(a-3) = 0$

$a > 0$より$3ax^2 - 3a(a-2)x + a^2(a-3) = 0$を$a$で割ると

$3x^2 - 3(a-2)x + a(a-3) = 0$

異なる2点で交わるので、判別式$D > 0$

$D = 9(a-2)^2 - 4(3)a(a-3)$

$D = 9(a^2 - 4a + 4) - 12a^2 + 36a$

$D = 9a^2 - 36a + 36 - 12a^2 + 36a$

$D = -3a^2 + 36$

$-3a^2 + 36 > 0$

$a^2 < 12$

$-\sqrt{12} < a < \sqrt{12}$

$-2\sqrt{3} < a < 2\sqrt{3}$

$a > 0$より

$0 < a < 2\sqrt{3}$

(3) 2曲線$C, D$で囲まれた図形の面積$S$を求める。

$3x^2 - 3(a-2)x + a(a-3) = 0$の解を$\alpha, \beta$とする。$\alpha < \beta$

$\alpha + \beta = a - 2$

$\alpha\beta = \frac{a(a-3)}{3}$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} | x^2(x+3) - (x-a)^2(x-a+3) | dx$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} | 3ax^2 - 3a(a-2)x + a^2(a-3) | dx$

$S = 3a \int_{\alpha}^{\beta} | x^2 - (a-2)x + \frac{a(a-3)}{3} | dx$

$S = 3a \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x-\beta) dx$

$S = 3a [ -\frac{1}{6} (x-\alpha)^3 ]_{\alpha}^{\beta} = 3a [ -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 ]$

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (a-2)^2 - \frac{4a(a-3)}{3} = a^2 - 4a + 4 - \frac{4a^2 - 12a}{3} = \frac{3a^2 - 12a + 12 - 4a^2 + 12a}{3} = \frac{-a^2+12}{3}$

$\beta - \alpha = \sqrt{\frac{-a^2+12}{3}}$

$S = 3a \cdot \frac{1}{6} (\sqrt{\frac{-a^2+12}{3}})^3 = \frac{a}{2} (\frac{-a^2+12}{3})^{\frac{3}{2}} = \frac{a}{2} \frac{(12-a^2)^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} = \frac{a(12-a^2)^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{a(12-a^2)^{\frac{3}{2}}}{6\sqrt{3}}$

(4) $t = 12 - a^2$ とおくことにより、$S$が最大となるような定数$a$の値を求める。

$S = \frac{a t^{\frac{3}{2}}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12-t} t^{\frac{3}{2}}}{6\sqrt{3}}$

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{6\sqrt{3}} \frac{-\frac{1}{2}(12-t)^{-\frac{1}{2}}(-1)t^{\frac{3}{2}} + (12-t)^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}}{(1)}$

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{6\sqrt{3}} [\frac{t^{\frac{3}{2}}}{2(12-t)^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} (12-t)^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} ]$

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{6\sqrt{3}} [\frac{t\sqrt{t}}{2\sqrt{12-t}} + \frac{3}{2} \sqrt{12-t} \sqrt{t} ]$

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{6\sqrt{3}} [ \frac{t\sqrt{t} + 3(12-t) \sqrt{t}}{2\sqrt{12-t}} ] = \frac{1}{6\sqrt{3}} [ \frac{\sqrt{t}(t + 36 - 3t)}{2\sqrt{12-t}} ] = \frac{\sqrt{t} (36 - 2t)}{12 \sqrt{3} \sqrt{12-t}}$

$\frac{dS}{dt} = 0$となるとき$t = 18$

$12 - a^2 = 18$

$a^2 = -6$

これはありえない。

$S = \frac{1}{6\sqrt{3}} a(12-a^2)^{\frac{3}{2}}$

$\frac{dS}{da} = \frac{1}{6\sqrt{3}} [(1)(12-a^2)^{\frac{3}{2}} + a(\frac{3}{2})(12-a^2)^{\frac{1}{2}}(-2a)] = \frac{1}{6\sqrt{3}} [(12-a^2)^{\frac{3}{2}} - 3a^2(12-a^2)^{\frac{1}{2}}]$

$\frac{dS}{da} = 0$となるとき

$(12-a^2)^{\frac{3}{2}} = 3a^2 (12-a^2)^{\frac{1}{2}}$

$12 - a^2 = 3a^2$

$12 = 4a^2$

$a^2 = 3$

$a = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x-a)^2(x-a+3)$

(2) $0 < a < 2\sqrt{3}$

(3) $S = \frac{a(12-a^2)^{\frac{3}{2}}}{6\sqrt{3}}$

(4) $a = \sqrt{3}$