問題は、以下の無限級数の和を求めることです。 (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}$

1. 問題の内容

問題は、以下の無限級数の和を求めることです。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}$

2. 解き方の手順

この級数は、部分分数分解を用いて解くことができます。まず、$\frac{1}{n(n+3)}$を部分分数に分解します。

$\frac{1}{n(n+3)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+3}$

両辺に $n(n+3)$ を掛けると、

$1 = A(n+3) + Bn$

$1 = (A+B)n + 3A$

この式が任意の $n$ について成り立つためには、以下の連立方程式が成立する必要があります。

$A + B = 0$

$3A = 1$

この連立方程式を解くと、$A = \frac{1}{3}$、$B = -\frac{1}{3}$ となります。したがって、

$\frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right)$

これで、級数の各項を部分分数に分解できました。次に、部分和 $S_N$ を計算します。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right)$

$S_N = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \dots + \left( \frac{1}{N-2} - \frac{1}{N+1} \right) + \left( \frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+2} \right) + \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{N+3} \right) \right]$

多くの項が相殺されることに注意すると、

$S_N = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3} \right)$

最後に、$N \to \infty$ の極限を取ります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)} = \lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{3} \lim_{N \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3} \right)$

$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N+1} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N+2} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N+3} = 0$ なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{6+3+2}{6} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{11}{6} \right) = \frac{11}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{18}$