与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この級数は、部分分数分解を用いて解くことができます。

まず、$\frac{1}{n(n+2)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$

両辺に $n(n+2)$ をかけると、

$1 = A(n+2) + Bn$

$n$ について整理すると、

$1 = (A+B)n + 2A$

したがって、$A+B=0$ かつ $2A=1$ となります。

$A = \frac{1}{2}$ であり、$B = -\frac{1}{2}$ であることがわかります。

よって、

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

したがって、級数は次のようになります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

この級数の部分和 $S_N$ を考えると、

$S_N = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \dots + \left( \frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+1} \right) + \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{N+2} \right) \right]$

この級数は望遠鏡級数（telescoping series）と呼ばれるものであり、多くの項が打ち消しあいます。

具体的には、$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{N}$ が打ち消し合うので、

$S_N = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} \right)$

$S_N = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} \right)$

したがって、級数の和は、$N \to \infty$ のときの $S_N$ の極限になります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} = \lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - 0 - 0 \right) = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$