(1) $\arcsin(a) = \arccos(\frac{1}{3})$ を満たす $a$ を求めよ。 (2) $2\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{12})) + \sin(\arcsin(\frac{\pi}{24}))$ を計算せよ。

1. 問題の内容

(1) $\arcsin(a) = \arccos(\frac{1}{3})$ を満たす $a$ を求めよ。

(2) $2\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{12})) + \sin(\arcsin(\frac{\pi}{24}))$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\arccos(\frac{1}{3}) = \theta$ とおくと、$\cos(\theta) = \frac{1}{3}$である。

$0 \le \theta \le \pi$である。

$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$より、

$\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin(\theta) = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$0 \le \theta \le \pi$より、$\sin(\theta) \ge 0$なので、$\sin(\theta) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\arcsin(a) = \theta$より、$a = \sin(\theta) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2)

まず$\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{12}))$を計算する。$\frac{7\pi}{12}$は$\frac{\pi}{2}$より大きいので、そのままでは$\arcsin$を適用できない。$\sin(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\pi - \frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{5\pi}{12})$であり、$\frac{5\pi}{12}$は$-\frac{\pi}{2}$から$\frac{\pi}{2}$の間にあるので、$\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{12})) = \arcsin(\sin(\frac{5\pi}{12})) = \frac{5\pi}{12}$。

また$\sin(\arcsin(\frac{\pi}{24})) = \frac{\pi}{24}$である。

したがって、

$2\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{12})) + \sin(\arcsin(\frac{\pi}{24})) = 2(\frac{5\pi}{12}) + \frac{\pi}{24} = \frac{10\pi}{12} + \frac{\pi}{24} = \frac{20\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{21\pi}{24} = \frac{7\pi}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $\frac{7\pi}{8}$