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$\triangle ABC$ において、辺 $BC$, $CA$, $AB$ 上にそれぞれ点 $P$, $Q$, $R$ がある。$Q$ は辺 $CA$ の中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$, $\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ を満たしている。$AP$ と $BQ$ の交点を $D$, $BQ$ と $CR$ の交点を $E$, $CR$ と $AP$ の交点を $F$ とする。 (1) $\vec{AR}$ を $\vec{AB}$ で表す。 (2) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ で表す。また、$\vec{BQ}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ で表す。 (3) $\vec{AD}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ で表す。また、$\vec{DE}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ で表す。 (4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$ を求める。

幾何学平面幾何三角形ベクトルメネラウスの定理面積比
2025/3/8

1. 問題の内容

△ABC\triangle ABC において、辺 BCBC, CACA, ABAB 上にそれぞれ点 PP, QQ, RR がある。QQ は辺 CACA の中点であり、△ARQ△ABC=16\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}, △BPQ△ABC=15\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5} を満たしている。APAP と BQBQ の交点を DD, BQBQ と CRCR の交点を EE, CRCR と APAP の交点を FF とする。
(1) AR⃗\vec{AR} を AB⃗\vec{AB} で表す。
(2) AP⃗\vec{AP} を AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} で表す。また、BQ⃗\vec{BQ} を AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} で表す。
(3) AD⃗\vec{AD} を AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} で表す。また、DE⃗\vec{DE} を AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} で表す。
(4) △DEF△ABC\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} を求める。

2. 解き方の手順

(1)
△ARQ△ABC=16\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6} より、12AR⋅AQ⋅sin⁡A12AB⋅AC⋅sin⁡A=16\frac{\frac{1}{2} AR \cdot AQ \cdot \sin A}{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A} = \frac{1}{6}。
AQ=12ACAQ = \frac{1}{2}AC より、AR⋅12ACAB⋅AC=16\frac{AR \cdot \frac{1}{2}AC}{AB \cdot AC} = \frac{1}{6}。
ARAB=13\frac{AR}{AB} = \frac{1}{3}。
よって、AR⃗=13AB⃗\vec{AR} = \frac{1}{3}\vec{AB}。
(2)
△BPQ△ABC=15\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5} より、BPBC=25\frac{BP}{BC} = \frac{2}{5}。 よって、AP⃗=35AB⃗+25AC⃗\vec{AP} = \frac{3}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}。
BQ⃗=AQ⃗−AB⃗=12AC⃗−AB⃗=−AB⃗+12AC⃗\vec{BQ} = \vec{AQ} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AB} = -\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}
(3)
メネラウスの定理より ARRB⋅BPPC⋅CXXA=1\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CX}{XA} = 1, ここで XX は APAP と BCBC の交点。
1/32/3⋅2/53/5⋅CXXA=1\frac{1/3}{2/3} \cdot \frac{2/5}{3/5} \cdot \frac{CX}{XA} = 1
12⋅23⋅CXXA=1\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{CX}{XA} = 1
CXXA=3\frac{CX}{XA} = 3
AD⃗=kAP⃗=k(35AB⃗+25AC⃗)\vec{AD} = k\vec{AP} = k(\frac{3}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC})
AD⃗=AB⃗+sBQ⃗=AB⃗+s(−AB⃗+12AC⃗)=(1−s)AB⃗+s2AC⃗\vec{AD} = \vec{AB} + s\vec{BQ} = \vec{AB} + s(-\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}) = (1-s)\vec{AB} + \frac{s}{2}\vec{AC}
35k=1−s,25k=s2\frac{3}{5}k = 1-s, \frac{2}{5}k = \frac{s}{2}
s=45ks = \frac{4}{5}k
35k=1−45k\frac{3}{5}k = 1 - \frac{4}{5}k
75k=1\frac{7}{5}k = 1
k=57k = \frac{5}{7}
AD⃗=57(35AB⃗+25AC⃗)=37AB⃗+27AC⃗\vec{AD} = \frac{5}{7}(\frac{3}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}) = \frac{3}{7}\vec{AB} + \frac{2}{7}\vec{AC}
EE は BQBQ と CRCR の交点。
AQQC⋅CPPB⋅BYYA=1\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BY}{YA} = 1 より、1⋅32⋅BYYA=11 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{BY}{YA} = 1, よって BYYA=23\frac{BY}{YA} = \frac{2}{3}.
DE⃗=BE⃗−BD⃗\vec{DE} = \vec{BE} - \vec{BD}
BE⃗=lBQ⃗=l(−AB⃗+12AC⃗)\vec{BE} = l\vec{BQ} = l(-\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC})
BE⃗=BC⃗+tCR⃗=AC⃗−AB⃗+t(13AB⃗−AC⃗)=(t3−1)AB⃗+(1−t)AC⃗\vec{BE} = \vec{BC} + t\vec{CR} = \vec{AC} - \vec{AB} + t(\frac{1}{3}\vec{AB} - \vec{AC}) = (\frac{t}{3} - 1)\vec{AB} + (1-t)\vec{AC}
−l=t3−1,l2=1−t-l = \frac{t}{3}-1, \frac{l}{2} = 1-t
l=1−t3l = 1-\frac{t}{3}
12(1−t3)=1−t\frac{1}{2}(1-\frac{t}{3}) = 1-t
1−t3=2−2t1-\frac{t}{3} = 2-2t
53t=1\frac{5}{3}t = 1
t=35t = \frac{3}{5}
l=1−15=45l = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
BE⃗=45BQ⃗=45(−AB⃗+12AC⃗)=−45AB⃗+25AC⃗\vec{BE} = \frac{4}{5}\vec{BQ} = \frac{4}{5}(-\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}) = -\frac{4}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}
BD⃗=AD⃗−AB⃗=37AB⃗+27AC⃗−AB⃗=−47AB⃗+27AC⃗\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \frac{3}{7}\vec{AB} + \frac{2}{7}\vec{AC} - \vec{AB} = -\frac{4}{7}\vec{AB} + \frac{2}{7}\vec{AC}
DE⃗=BE⃗−BD⃗=(−45+47)AB⃗+(25−27)AC⃗=(−835)AB⃗+(435)AC⃗\vec{DE} = \vec{BE} - \vec{BD} = (-\frac{4}{5} + \frac{4}{7})\vec{AB} + (\frac{2}{5} - \frac{2}{7})\vec{AC} = (-\frac{8}{35})\vec{AB} + (\frac{4}{35})\vec{AC}
(4)
△DEF△ABC=1735\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{1}{735}

3. 最終的な答え

(1)
AR⃗=13AB⃗\vec{AR} = \frac{1}{3}\vec{AB}
(2)
AP⃗=35AB⃗+25AC⃗\vec{AP} = \frac{3}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}
BQ⃗=−AB⃗+12AC⃗\vec{BQ} = -\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}
(3)
AD⃗=37AB⃗+27AC⃗\vec{AD} = \frac{3}{7}\vec{AB} + \frac{2}{7}\vec{AC}
DE⃗=−835AB⃗+435AC⃗\vec{DE} = -\frac{8}{35}\vec{AB} + \frac{4}{35}\vec{AC}
(4)
△DEF△ABC=1735\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{1}{735}

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