与えられた3つの等式が正しいかどうか判定する問題です。それぞれの等式は、Σ記号（総和記号）を含む式で表されています。 (1) $\sum_{i=1}^{n+1} (i^2 - 1) = \sum_{j=1}^{n} j(j+2)$ (2) $\sum_{i=0}^{n} i(i^2 - 1) = \sum_{j=1}^{n-1} j(j+1)(j+2)$ (3) $\sum_{i=0}^{n} i(i^2 - 1) = \sum_{j=2}^{n} j(j^2 - 1)$

1. 問題の内容

与えられた3つの等式が正しいかどうか判定する問題です。それぞれの等式は、Σ記号（総和記号）を含む式で表されています。

(1) $\sum_{i=1}^{n+1} (i^2 - 1) = \sum_{j=1}^{n} j(j+2)$

(2) $\sum_{i=0}^{n} i(i^2 - 1) = \sum_{j=1}^{n-1} j(j+1)(j+2)$

(3) $\sum_{i=0}^{n} i(i^2 - 1) = \sum_{j=2}^{n} j(j^2 - 1)$

2. 解き方の手順

各等式について、左辺と右辺を具体的に計算し、それらが等しいかどうかを確認します。

(1)

左辺: $\sum_{i=1}^{n+1} (i^2 - 1) = \sum_{i=1}^{n+1} i^2 - \sum_{i=1}^{n+1} 1$

右辺: $\sum_{j=1}^{n} j(j+2) = \sum_{j=1}^{n} (j^2 + 2j) = \sum_{j=1}^{n} j^2 + 2\sum_{j=1}^{n} j$

$\sum_{i=1}^{n+1} i^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

$\sum_{i=1}^{n+1} 1 = n+1$

$\sum_{j=1}^{n} j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{j=1}^{n} j = \frac{n(n+1)}{2}$

左辺: $\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} - (n+1)$

右辺: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$

$n=1$のとき

左辺: $\sum_{i=1}^2 (i^2 - 1) = (1^2 - 1) + (2^2 - 1) = 0 + 3 = 3$

右辺: $\sum_{j=1}^1 j(j+2) = 1(1+2) = 3$

$n=2$のとき

左辺: $\sum_{i=1}^3 (i^2 - 1) = (1^2 - 1) + (2^2 - 1) + (3^2 - 1) = 0 + 3 + 8 = 11$

右辺: $\sum_{j=1}^2 j(j+2) = 1(1+2) + 2(2+2) = 3 + 8 = 11$

この等式は正しいです。

(2)

左辺: $\sum_{i=0}^{n} i(i^2 - 1) = \sum_{i=0}^{n} (i^3 - i) = \sum_{i=0}^{n} i^3 - \sum_{i=0}^{n} i$

右辺: $\sum_{j=1}^{n-1} j(j+1)(j+2) = \sum_{j=1}^{n-1} (j^3 + 3j^2 + 2j)$

$\sum_{i=0}^{n} i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

左辺: $(\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)}{2}$

右辺: $\sum_{j=1}^{n-1} j^3 + 3\sum_{j=1}^{n-1} j^2 + 2\sum_{j=1}^{n-1} j$

= $(\frac{(n-1)n}{2})^2 + 3\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2\frac{(n-1)n}{2}$

= $\frac{(n-1)^2n^2}{4} + \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} + (n-1)n$

$n=1$のとき

左辺: $\sum_{i=0}^1 i(i^2 - 1) = 0(0-1) + 1(1-1) = 0$

右辺: $\sum_{j=1}^0 j(j+1)(j+2) = 0$

$n=2$のとき

左辺: $\sum_{i=0}^2 i(i^2 - 1) = 0(0-1) + 1(1-1) + 2(4-1) = 0 + 0 + 6 = 6$

右辺: $\sum_{j=1}^1 j(j+1)(j+2) = 1(1+1)(1+2) = 1(2)(3) = 6$

$n=3$のとき

左辺: $\sum_{i=0}^3 i(i^2 - 1) = 0 + 0 + 2(3) + 3(8) = 6 + 24 = 30$

右辺: $\sum_{j=1}^2 j(j+1)(j+2) = 1(2)(3) + 2(3)(4) = 6 + 24 = 30$

この等式は正しいです。

(3)

左辺: $\sum_{i=0}^{n} i(i^2 - 1) = \sum_{i=0}^{n} (i^3 - i)$

右辺: $\sum_{j=2}^{n} j(j^2 - 1) = \sum_{j=2}^{n} (j^3 - j)$

左辺: $\sum_{i=0}^{n} (i^3 - i) = \sum_{i=0}^{n} i^3 - \sum_{i=0}^{n} i = (\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)}{2}$

右辺: $\sum_{j=2}^{n} (j^3 - j) = \sum_{j=0}^{n} (j^3 - j) - (0^3 - 0) - (1^3 - 1) = (\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)}{2} - 0 - 0 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)}{2}$

この等式は正しいです。

3. 最終的な答え

(1) 正しい

(2) 正しい

(3) 正しい