与えられた対数方程式のそれぞれについて、$x$ の値を求めます。 (a) $\log_{10} x = -2$ (b) $\log_2 (3x+2) = 5$ (c) $\log_3 \sqrt{x-2} = 1$ (d) $\log_2 (x-1) = \log_4 (x-2) + 1$ (e) $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式のそれぞれについて、$x$ の値を求めます。

(a) $\log_{10} x = -2$

(b) $\log_2 (3x+2) = 5$

(c) $\log_3 \sqrt{x-2} = 1$

(d) $\log_2 (x-1) = \log_4 (x-2) + 1$

(e) $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3$

2. 解き方の手順

(a) 対数の定義より、$x = 10^{-2}$。

$x = 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01$

(b) 対数の定義より、$3x+2 = 2^5$。

$3x+2 = 32$

$3x = 30$

$x = 10$

(c) 対数の定義より、$\sqrt{x-2} = 3^1 = 3$。

$\sqrt{x-2} = 3$

両辺を2乗して、$x-2 = 9$

$x = 11$

(d) 底の変換公式を用いて、$\log_4 (x-2) = \frac{\log_2 (x-2)}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (x-2)}{2}$。

元の式は、$\log_2 (x-1) = \frac{1}{2} \log_2 (x-2) + 1$。

$2\log_2 (x-1) = \log_2 (x-2) + 2$

$\log_2 (x-1)^2 = \log_2 (x-2) + \log_2 4$

$\log_2 (x-1)^2 = \log_2 4(x-2)$

$(x-1)^2 = 4(x-2)$

$x^2 - 2x + 1 = 4x - 8$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

$x=3$を元の式に代入して$\log_2 (3-1) = \log_4 (3-2) + 1 \rightarrow \log_2 2 = \log_4 1 + 1 \rightarrow 1 = 0 + 1 \rightarrow 1 = 1$なので$x=3$は正しい。

(e) 対数の性質より、$\log_2 x^3 = 3 \log_2 x$。

元の式は、$(\log_2 x)^2 = 3 \log_2 x$。

$(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x = 0$

$\log_2 x (\log_2 x - 3) = 0$

$\log_2 x = 0$ または $\log_2 x = 3$。

$\log_2 x = 0$ のとき、$x = 2^0 = 1$。

$\log_2 x = 3$ のとき、$x = 2^3 = 8$。

$x=1$を元の式に代入して$(\log_2 1)^2 = \log_2 1^3 \rightarrow 0^2 = \log_2 1 \rightarrow 0 = 0$なので$x=1$は正しい。

$x=8$を元の式に代入して$(\log_2 8)^2 = \log_2 8^3 \rightarrow 3^2 = \log_2 512 \rightarrow 9 = 9$なので$x=8$は正しい。

3. 最終的な答え

(a) $x = 0.01$

(b) $x = 10$

(c) $x = 11$

(d) $x = 3$

(e) $x = 1, 8$