与えられた3つの連立一次方程式について、解が存在するかどうかを調べ、存在する場合は解を求め、存在しない場合は「存在しない」と答えます。

1. 問題の内容

与えられた3つの連立一次方程式について、解が存在するかどうかを調べ、存在する場合は解を求め、存在しない場合は「存在しない」と答えます。

2. 解き方の手順

(1)

連立方程式は以下です。

$x - y + 2z = 3$

$2x + 2y - 3z = 1$

$3x + y - z = 5$

まず、ガウスの消去法を用いて解を求めます。拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

です。

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 3 & 1 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 4 & -7 & -4 \end{bmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

最後の行は $0 = 1$ を意味するため、この連立方程式は解を持ちません。

(2)

連立方程式は以下です。

$x - y + 2z = 3$

$2x + 2y - 3z = 1$

$3x + y - z = 4$

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 4 \end{bmatrix}$

です。

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 3 & 1 & -1 & 4 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \end{bmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$4y - 7z = -5$ より $y = \frac{7z - 5}{4}$.

$x - y + 2z = 3$ より $x = y - 2z + 3 = \frac{7z - 5}{4} - 2z + 3 = \frac{7z - 5 - 8z + 12}{4} = \frac{-z + 7}{4}$.

したがって、解は

$x = \frac{-z + 7}{4}$

$y = \frac{7z - 5}{4}$

$z = z$ （任意）

(3)

連立方程式は以下です。

$x + y + 3z - w = 1$

$3x + 2y + z + w = 2$

$x - y - 2z + 4w = 3$

$2x + 3y - z + 3w = 0$

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

です。

2行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -8 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & -2 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -8 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & -5 & 5 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -8 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & -5 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & -7 & 5 & -2 \end{bmatrix}$

2行目に-1をかけます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & -5 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & -7 & 5 & -2 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 11 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -7 & 5 & -2 \end{bmatrix}$

4行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 11 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & -15 & 9 & -3 \end{bmatrix}$

4行目に11/15をかけます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 11 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & -11 & \frac{33}{5} & -\frac{11}{5} \end{bmatrix}$

4行目に3行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 11 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{18}{5} & \frac{9}{5} \end{bmatrix}$

最後の式は $18/5 w = 9/5$, したがって $w = 1/2$.

$11z - 3w = 4$ より $11z - 3/2 = 4$. よって $11z = 11/2$となり、$z = 1/2$.

$y + 8z - 4w = 1$ より $y + 4 - 2 = 1$. よって $y = -1$.

$x + y + 3z - w = 1$ より $x - 1 + 3/2 - 1/2 = 1$. よって $x = 0$.

3. 最終的な答え

(1) 存在しない

(2) $x = \frac{-z + 7}{4}$, $y = \frac{7z - 5}{4}$, $z = z$

(3) $x = 0$, $y = -1$, $z = 1/2$, $w = 1/2$