以下の5つの不等式を解きます。 (a) $3 \log_2 x + 1 < 0$ (b) $\log_{0.5} (x + 3) + 4 > 0$ (c) $\log_2 (x - 2) + \log_2 x < 3$ (d) $2 \log_2 x^3 - 4 \log_2 x < \log_2 10x - \log_2 5x$ (e) $(\log_2 x)^2 - \log_2 x^3 - 4 > 0$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の5つの不等式を解きます。

(a) $3 \log_2 x + 1 < 0$

(b) $\log_{0.5} (x + 3) + 4 > 0$

(c) $\log_2 (x - 2) + \log_2 x < 3$

(d) $2 \log_2 x^3 - 4 \log_2 x < \log_2 10x - \log_2 5x$

(e) $(\log_2 x)^2 - \log_2 x^3 - 4 > 0$

2. 解き方の手順

(a) $3 \log_2 x + 1 < 0$

まず、不等式を変形します。

$3 \log_2 x < -1$

$\log_2 x < -\frac{1}{3}$

$x < 2^{-\frac{1}{3}}$

真数条件より、$x > 0$なので、

$0 < x < 2^{-\frac{1}{3}}$

(b) $\log_{0.5} (x + 3) + 4 > 0$

$\log_{0.5} (x + 3) > -4$

$x + 3 < (0.5)^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^4 = 16$

$x < 16 - 3 = 13$

真数条件より、$x + 3 > 0$なので、$x > -3$

よって、$-3 < x < 13$

(c) $\log_2 (x - 2) + \log_2 x < 3$

$\log_2 (x(x - 2)) < 3$

$x(x - 2) < 2^3 = 8$

$x^2 - 2x < 8$

$x^2 - 2x - 8 < 0$

$(x - 4)(x + 2) < 0$

$-2 < x < 4$

真数条件より、$x - 2 > 0$かつ$x > 0$なので、$x > 2$

よって、$2 < x < 4$

(d) $2 \log_2 x^3 - 4 \log_2 x < \log_2 10x - \log_2 5x$

$6 \log_2 x - 4 \log_2 x < \log_2 \frac{10x}{5x}$

$2 \log_2 x < \log_2 2$

$\log_2 x^2 < \log_2 2$

$x^2 < 2$

$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

真数条件より、$x > 0$なので、$0 < x < \sqrt{2}$

(e) $(\log_2 x)^2 - \log_2 x^3 - 4 > 0$

$(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x - 4 > 0$

$t = \log_2 x$とおくと、

$t^2 - 3t - 4 > 0$

$(t - 4)(t + 1) > 0$

$t < -1$または$t > 4$

$\log_2 x < -1$または$\log_2 x > 4$

$x < 2^{-1} = \frac{1}{2}$または$x > 2^4 = 16$

真数条件より、$x > 0$なので、$0 < x < \frac{1}{2}$または$x > 16$

3. 最終的な答え

(a) $0 < x < 2^{-\frac{1}{3}}$

(b) $-3 < x < 13$

(c) $2 < x < 4$

(d) $0 < x < \sqrt{2}$

(e) $0 < x < \frac{1}{2}$または$x > 16$