地上から物体を秒速30mで真上に投げ上げた時、$x$秒後の物体の高さ$y$mは、$y = -5x^2 + 30x$で表されるとする。 (1) 物体が最も高い位置に達するのは、投げ上げてから何秒後か。また、その高さを求めよ。 (2) 物体が再度地上に戻ってくるのは、投げ上げてから何秒後か。

はい、承知いたしました。どの問題を解きましょうか？ここでは、2番の問題を解いてみます。

1. 問題の内容

地上から物体を秒速30mで真上に投げ上げた時、$x$秒後の物体の高さ$y$mは、$y = -5x^2 + 30x$で表されるとする。

(1) 物体が最も高い位置に達するのは、投げ上げてから何秒後か。また、その高さを求めよ。

(2) 物体が再度地上に戻ってくるのは、投げ上げてから何秒後か。

2. 解き方の手順

(1) $y = -5x^2 + 30x$を平方完成させる。

$y = -5(x^2 - 6x)$

$y = -5(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$y = -5((x - 3)^2 - 9)$

$y = -5(x - 3)^2 + 45$

よって、頂点は$(3, 45)$となる。

これは、$x = 3$の時、$y$は最大値$45$を取ることを意味する。

(2) 地上に戻ってくる時、$y = 0$となる。

$-5x^2 + 30x = 0$

$-5x(x - 6) = 0$

$x = 0, 6$

$x = 0$は投げ上げる前なので、$x = 6$が答えとなる。

3. 最終的な答え

(1) 3秒後、高さは45m

(2) 6秒後