全体集合 $U = \{ x | 1 \leq x \leq 10, x \text{ は整数 } \}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$、 $B = \{1, 3, 9, 10\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 1. $\overline{A}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{ x | 1 \leq x \leq 10, x \text{ は整数 } \}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$、 $B = \{1, 3, 9, 10\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

1. $\overline{A}$

2. $\overline{A} \cap B$

3. $A \cup \overline{B}$

4. $\overline{A} \cap \overline{B}$

5. $A \cap \overline{B}$

6. $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を具体的に書き下すと、

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

となります。

次に、$A$ と $B$ の補集合 $\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。

$\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

$\overline{B}$ は $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = \{2, 4, 5, 6, 7, 8\}$

これで準備が整いました。それぞれの集合を求めます。

1. $\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

2. $\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap B = \{9, 10\} \cap \{1,3,9,10\} = \{9, 10\} = \{9,10\}$

$\overline{A} \cap B = \{9, 10\}$

3. $A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 7\} \cup \{2, 4, 5, 6, 7, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

4. $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 8, 9, 10\} \cap \{2, 4, 5, 6, 7, 8\} = \{4, 6, 8\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 8\}$

5. $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 7\} \cap \{2, 4, 5, 6, 7, 8\} = \{2, 5, 7\}$

$A \cap \overline{B} = \{2, 5, 7\}$

6. $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ の補集合です。まず、$A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 3, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 10\}$

$\overline{A \cup B}$ は、$U$ の中で $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cup B} = \{4, 6, 8\}$

$\overline{A \cup B} = \{4, 6, 8\}$

3. 最終的な答え

1. $\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

2. $\overline{A} \cap B = \{9, 10\}$

3. $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

4. $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 8\}$

5. $A \cap \overline{B} = \{2, 5, 7\}$

6. $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 8\}$