$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)$ を $\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} 2k$ に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ は平方数の和であり、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と表されます。

$\sum_{k=1}^{n} 2k$ は等差数列の和であり、$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2\sum_{k=1}^{n} k = 2\cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ と表されます。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$

共通因数 $n(n+1)$ でくくると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = n(n+1)\left(\frac{2n+1}{6} + 1\right) = n(n+1)\left(\frac{2n+1+6}{6}\right) = n(n+1)\left(\frac{2n+7}{6}\right)$

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$