AとBの2つの30cmの物差しで紐の長さを測ったところ、Aでは72cm、Bでは73.5cmだった。正しい物差しでAとBで測ると0.6cmの差が出た。紐の長さを求める。

## 問題9

1. 問題の内容

AとBの2つの30cmの物差しで紐の長さを測ったところ、Aでは72cm、Bでは73.5cmだった。正しい物差しでAとBで測ると0.6cmの差が出た。紐の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、Aの物差しが示す長さとBの物差しが示す長さの差を計算する。

$73.5 - 72 = 1.5$ cm

次に、物差しの誤差と実際の長さの比を考える。AとBの物差しで測った長さの差が1.5cmであるのに対し、正しい物差しで測ると0.6cmの差が出るので、この比を用いて、それぞれの物差しの誤差を求める。

Aの物差しの誤差をxとすると、Bの物差しの誤差は $x + 0.6$ となる。

よって、$72x + 73.5(x+0.6)$ が紐の実際の長さとなる。

Aの物差しの実際の長さに対する比率と、Bの物差しの実際の長さに対する比率を比較することで、誤差を求める。

Aの物差しの縮尺を $k_A$、Bの物差しの縮尺を $k_B$ とすると、

$72k_A = 73.5k_B$

$k_A - k_B = 0.6/L$ （Lは実際の紐の長さ）

$L = 72k_A = 73.5k_B$

$73.5k_B - 72k_B = 1.5k_B = 73.5(k_A - 0.6/L) - 72k_A = 1.5k_B$

仮にAの物差しが短かったとすると、$Aの示す長さ = 実際の長さ * (30/実際の長さ)$

$72 = 実際の長さ * (30/30+x)$

$73.5 = 実際の長さ * (30/30+x+0.6)$

正しい物差しで測ったAとBの差は0.6cmなので、AとBそれぞれの誤差の比率を求める必要がある。

Aの物差しの誤差をa、Bの物差しの誤差をbとする。この時、$b = a+0.6$

紐の長さをLとすると、$L = 72 + a$ かつ $L = 73.5 + b$

$72 + a = 73.5 + a + 0.6$

$72 = 73.5 + 0.6$

これは成り立たない。

Aの物差しが長く、Bの物差しが短いとすると、$L = 72 - a$ かつ $L = 73.5 - (a+0.6)$

$72 - a = 73.5 - a - 0.6$

$72 = 72.9$

これも成り立たない。

ここで、AとBの物差しがどちらも短く測っていると仮定する。

Aの物差しの誤差をx、Bの物差しの誤差をyとする。

$72 * (30+x)/30 = L$

$73.5 * (30+y)/30 = L$

$y = x+0.6$

$72 * (30+x) = 73.5 * (30+x+0.6)$

$2160 + 72x = 2205 + 73.5x + 44.1$

$0 = 89.1 + 1.5x$

$x = -59.4$

問題文を読み解くと、AとBの正しい物差しにおける差は0.6cmで、これは測った値そのものの差である。

Aで測った時に短い方だとすると、

$L_A = 72 + a$

$L_B = 73.5 + a+0.6 = 74.1 + a$

Aは72cm, Bは73.5cmなので、実際の長さをLとして、

$L = 72/kA$ = $73.5/kB$

$kA - kB = 0.6$

$kB = kA - 0.6$

$72/kA = 73.5/(kA - 0.6)$

$72kA - 43.2 = 73.5kA$

$-43.2 = 1.5kA$

$kA = -28.8$

Aの物差しの誤差をxとする。すると、Bの物差しの誤差はx+0.6。

実際の長さをLとすると、

$L/(30+x) = 72/30$

$L/(30+x+0.6) = 73.5/30$

$30L = 72(30+x) = 2160 + 72x$

$30L = 73.5(30.6+x) = 2250.1 + 73.5x$

$2160+72x = 2250.1 + 73.5x$

$-90.1 = 1.5x$

$x = -60.0666$

紐の長さをLとすると、Aの物差しの誤差をaとしたとき、

L = 72 + a

L = 73.5 + (a+0.6) = 74.1 + a

これが矛盾するので、A,Bの誤差の方向に問題がある。

Aで72, Bで73.5。A,Bを正しいもので測ると差が0.6。

Aが実際の長さより小さく、Bが実際の長さより大きいとすると、

$L = 72 + x$

$L = 73.5 - (x+0.6)$

$72 + x = 72.9 - x$

$2x = 0.9$

$x = 0.45$

$L = 72.45$

3. 最終的な答え

72.45 cm

## 問題10

1. 問題の内容

正方形と正三角形を組み合わせた六角形の面積を求める。ただし、正方形の一辺は20cm。

2. 解き方の手順

六角形は、正方形と正三角形2つから構成される。

正方形の面積は、$20 \times 20 = 400$ cm$^2$。

正三角形の一辺の長さは正方形の一辺の長さに等しいので、20cm。

正三角形の面積は、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 一辺の長さ^2$ で求められる。

したがって、正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 20^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 400 = 100\sqrt{3}$ cm$^2$。

六角形の面積は、正方形の面積 + 正三角形2つ分の面積 なので、

$400 + 2 \times 100\sqrt{3} = 400 + 200\sqrt{3}$ cm$^2$。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、$200\sqrt{3} \approx 200 \times 1.732 = 346.4$

六角形の面積は、$400 + 346.4 = 746.4$ cm$^2$

3. 最終的な答え

$400 + 200\sqrt{3}$ cm$^2$（または、約746.4 cm$^2$）