地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bに対して、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20$mである。このとき、木PQの高さを求める問題。

1. 問題の内容

地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bに対して、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20$mである。このとき、木PQの高さを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle QAB$において、$\angle AQB = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$である。

正弦定理より、$\frac{AQ}{\sin 60^\circ} = \frac{BQ}{\sin 45^\circ}$が成り立つ。

よって、$AQ = \frac{BQ \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{6}$。

次に、$\triangle PAQ$において、$\angle PAQ = 30^\circ$であり、$\angle PQA = 90^\circ$なので、$PQ = AQ \tan 30^\circ$が成り立つ。

$PQ = 10\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{2}$となる。

3. 最終的な答え

$10\sqrt{2}$