関数 $f(x) = 2x^3 + 3x^2$ の増減表と凹凸の表を作成し、曲線 $y = f(x)$ を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 + 3x^2$ の増減表と凹凸の表を作成し、曲線 $y = f(x)$ を描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、増減表を作成するために、一階微分 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$6x(x+1) = 0$ より、$x = 0$ または $x = -1$ です。

次に、二階微分 $f''(x)$ を計算して凹凸を調べます。

$f''(x) = 12x + 6 = 6(2x+1)$

$f''(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$6(2x+1) = 0$ より、$x = -\frac{1}{2}$ です。

増減表と凹凸の表をまとめると以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | -1/2 | ... | 0 | ... |

| :---- | :--- | :--- | :---- | :--- | :---- | :--- | :--- |

| f'(x) | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| f''(x) | - | - | - | 0 | + | + | + |

| f(x) | ↗凹 | 1 | ↘凹 | 1/2 | ↘凸 | 0 | ↗凸 |

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 = -2 + 3 = 1$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$f(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 = 2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x = 0$ のとき、$f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 = 0$

増減表と凹凸の表から、グラフの概形を描くことができます。

3. 最終的な答え

増減と凹凸の表は上記に示した通りです。グラフは、

* $x<-1$ で増加、上に凸

* $x=-1$ で極大値 $1$

* $-1<x<-\frac{1}{2}$ で減少、上に凸

* $x=-\frac{1}{2}$ で変曲点 $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

* $-\frac{1}{2}<x<0$ で減少、下に凸

* $x=0$ で極小値 $0$

* $x>0$ で増加、下に凸

となるようなグラフになります。