$a > \sqrt{2}$ を満たすとき、$\frac{a+2}{a+1}$, $\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$, $\sqrt{2}$ の3つの数を小さい順に不等号で表す。

1. 問題の内容

$a > \sqrt{2}$ を満たすとき、$\frac{a+2}{a+1}$, $\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$, $\sqrt{2}$ の3つの数を小さい順に不等号で表す。

2. 解き方の手順

$a > \sqrt{2}$ であることを利用して、それぞれの数を比較する。

まず、$\frac{a+2}{a+1}$ と $\sqrt{2}$ を比較する。

$\frac{a+2}{a+1} - \sqrt{2} = \frac{a+2 - \sqrt{2}(a+1)}{a+1} = \frac{(1-\sqrt{2})a + (2 - \sqrt{2})}{a+1}$

$a > \sqrt{2}$ より、$a+1 > 0$ である。また、$1-\sqrt{2} < 0$ であり、$(1-\sqrt{2})a < (1-\sqrt{2})\sqrt{2} = \sqrt{2} - 2$である。

したがって、$(1-\sqrt{2})a + (2 - \sqrt{2}) < (\sqrt{2} - 2) + (2 - \sqrt{2}) = 0$ となる。

よって、$\frac{a+2}{a+1} - \sqrt{2} < 0$ より、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2}$ である。

次に、$\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ と $\sqrt{2}$ を比較する。

$\frac{a}{2} + \frac{1}{a} - \sqrt{2} = \frac{a^2 - 2\sqrt{2}a + 2}{2a} = \frac{(a - \sqrt{2})^2}{2a}$

$a > \sqrt{2}$ より、$2a > 0$ であり、$(a - \sqrt{2})^2 \geq 0$ であるから、$\frac{(a - \sqrt{2})^2}{2a} \geq 0$ となる。

したがって、$\frac{a}{2} + \frac{1}{a} \geq \sqrt{2}$ である。

等号は $a = \sqrt{2}$ のときに成立するが、$a > \sqrt{2}$ であるから、$\frac{a}{2} + \frac{1}{a} > \sqrt{2}$ である。

したがって、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$